6  Reglerentwurf

Wir haben im letzten Unterrichtsblock den PID-Regler und seine Abwandlungen (P/PI/PD) kennengelernt, aber wir haben noch nicht darüber gesprochen, wie man die Reglerparameter einstellt. Um die Reglerparametrierung (wir sprechen auch vom Reglerentwurf) in systematischer Weise vorzunehmen, stehen verschiedene Entwurfsverfahren zur Verfügung.

Zu Beginn werden wir Gütekriterien kennenlernen, mit denen wir eine Regelung beurteilen können bzw. die wir für die Spezifikation der Anforderungen an eine Regelung verwenden können.

WichtigZiele

• Du kennst Gütekriterien, um eine Regelung in Bezug auf das Führungsverhalten bzw. das Störverhalten beurteilen zu können.
• Du kannst einen P/PI/PD/PID-Regler anhand eines Entwurfsverfahrens für eine gegebene Regelstrecke parametrieren.

6.1 Gütekriterien

Im Abschn. 5.2 haben wir die fünf Anforderungen an eine Regelung besprochen.

• Genauigkeit
• Schnelligkeit
• Dämpfung
• Stabilität
• Robustheit

Diese Anforderungen können wir in quantitative Gütekriterien umformulieren, die wir für die Beurteilung einer Regelung heranziehen können.

6.1.1 Gütekriterien für das Führungsverhalten

Für die Beurteilung einer Regelung sind primär die Genauigkeit, die Schnelligkeit und die Dämpfung massgeblich. Wir wollen die Fragen:

• Wie schnell wird der Sollwert erreicht?
• Gibt es eine bleibende Regelabweichung?
• Wie stark schwingt die Regelung?

mit einfach messbaren Grössen beantworten können, welche mittels der Führungssprungantwort bestimmt werden können (vgl. Abb. 6.1).

Abb. 6.1: Gütekriterien (Führungsverhalten)

Anhand der Führungssprungantwort können wir die folgenden Grössen bestimmen.

Anregelzeit T_{cr}

Zeitdauer bis zum erstmaligen Eintreten der Regelgrösse in eine bestimmte Einschwingtoleranz 2 \cdot \Delta x_s. Die Einschwingtoleranz (auch Fehlerschlauch oder Toleranzband genannt) wird üblicherweise auf den Sollwert bezogen (z. B. +/-10% vom Sollwert). Die Anregelzeit ist ein Mass für die Schnelligkeit der Regelung.

Ausregelzeit T_{cs}

Zeitdauer bis zum letztmaligen Eintreten der Regelgrösse in die Einschwingtoleranz 2 \cdot \Delta x_s (danach verlässt die Regelgrösse die Einschwingtoleranz nicht mehr). Diese Kenngrösse ist ebenfalls ein Mass für die Schnelligkeit.

Überschwingweite x_m

Maximalwert des Überschwingens der Regelgrösse über den Sollwert. Die Überschwingweite wird üblicherweise auf den Sollwert bezogen und in % angegeben. Die Überschwingweite ist ein Mass für die Dämpfung der Regelung.

Bleibende Regelabweichung e_\infty

Abweichung zwischen Führungs- und Regelgrösse nach Abklingen des Einschwingvorgangs. Diese kann absolut oder relativ (bezogen auf den Sollwert in %) angegeben werden. Die bleibende Regelabweichung ist ein Mass für die (stationäre) Genauigkeit der Regelung.

6.1.2 Gütekriterien für das Störverhalten

Für die Beurteilung des Störverhaltens werden die obigen Grössen in analoger Weise anhand einer Störsprungantwort ermittelt (vgl. Abb. 6.2).

Abb. 6.2: Gütekriterien (Störverhalten)

Anstelle von x_m wird hier x_{max} (Maximalwert der Regelgrösse als absolute Grösse) verwendet und anstelle von e_\infty wird x_\infty (stationärer Endwert der Regelgrösse) verwendet. Zusätzlich zu den ermittelten Werten muss immer auch angegeben werden, an welcher Stelle die Störgrösse eingreift.

6.2 Entwurfsverfahren

Im letzten Unterrichtsblock haben wir die stetigen Regler (P/PI/PD/PID) kennengelernt und wissen bereits, mit welchen Kenngrössen (Parametern) diese beschrieben werden.

HinweisProportionalbeiwert K_P

Um Verwechslungen auszuschliessen, verwenden wir im Folgenden K_{PR} für den Proportionalbeiwert des Reglers (Reglerverstärkung) sowie K_{PS} für den Proportionalbeiwert der Regelstrecke.

Regler	Proportionalbeiwert K_{PR} (Verstärkung)	Nachstellzeit T_i	Vorhaltezeit T_d
P
PI
PD
PID

Im Folgenden wollen wir verschiedene Verfahren anschauen (Entwurfsverfahren genannt), mit denen wir ermitteln können, wie wir die Reglerparameter für eine gegebene Regelstrecke einstellen müssen. Je besser man die Regelstrecke kennt, desto besser fällt i. Allg. auch die Reglerparametrierung bzw. das resultierende Regelverhalten aus. Man kann die Verfahren grob in die folgenden drei Kategorien einteilen.

Regelstrecke unbekannt	Regelstrecke grob bekannt	Regelstrecke genau bekannt
Ziegler/Nichols (Schwingversuch)	Ziegler/Nichols (Sprungantwort)	T-Summen-Regel
	Chien/Hrones/Reswick	Betragsoptimum
	Oppelt	numerische Optimierung
	T-Summen-Regel

Bevor wir die obigen Entwurfsverfahren betrachten, wollen wir uns kurz überlegen, welche Kombinationen von Reglern und Strecken geeignet bzw. eher ungeeignet sind. Als grobe Richtlinie kann man sich an die nachfolgenden Aussagen halten und Tab. 6.1 konsultieren¹.

1. Der Vollständigkeit halber ist in Tab. 6.1 auch der I-Regler aufgeführt, den wir aber nie einsetzen werden. Wie zu sehen ist in der Tabelle, hat er gegenüber dem PI-Regler keine Vorteile.

• Bei P-Strecken sollte der Regler einen I-Anteil aufweisen, wenn stationäre Genauigkeit gefordert ist.
• Bei I-Strecken sollte der Regler keinen I-Anteil aufweisen, ausser wenn es nötig ist, um z. B. bei Folgeregelungen allfällige Schleppfehler zu vermeiden.
• An I-Strecken ist ein D-Anteil im Regler hilfreich, da er zur Stabilisierung beiträgt.
• An Strecken ohne Speicher (z. B. reine P-Strecke oder reine Totzeit) ist ein D-Anteil nicht sinnvoll.

	Streckentyp	P	I	PI	PD	PID
	P-Strecke (P) bzw. reine Totzeit (P-Tt)	−	+	+	−	−
	Verzögerung 1. Ordnung (P-T1)	+	+	+	+	+
	Verzögerung 1. Ordnung + Totzeit (P-T1-Tt)	−	+	+	−	+
	Verzögerung 2. Ordnung (P-T2)	+	−	+	−	+
	Verzögerung höherer Ordnung (P-Tn)	+	−	+	+	+
	ohne Ausgleich (I-T1)	+	−	+	+	+
	ohne Ausgleich2 (I2)	−	−	−	+	+

Tab. 6.1: Geeignete (+) bzw. ungeeignete (-) Regler-Strecken-Kombinationen

2. Wenn zwei I-Glieder in Reihe geschaltet werden, d. h. die Strecke zwei I-Glieder aufweist, sprechen wir von einer doppelt integrierenden Strecke oder I₂-Strecke. Eine solche Strecke ist grundsätzlich instabil, kann mit einem D-Anteil im Regler aber stabilisiert werden. Wir werden uns in diesem Modul nicht mit solchen Strecken beschäftigen.

6.2.1 Entwurf nach Ziegler/Nichols (ZN)

Von Ziegler/Nichols wurden die beiden folgenden Verfahren entwickelt:

• Entwurf anhand des Schwingversuchs
• Entwurf anhand der Sprungantwort

Entwurf anhand des Schwingversuchs

Diese Methode kommt ganz ohne Kenntnisse der Regelstrecke aus und liefert daher keine optimalen Ergebnisse. Dieses Verfahren stammt aus einer Zeit, in der die Regler analog ausgeführt wurden und noch keine Computer existierten. Heute wird es kaum noch angewendet (ausser für rudimentäre Regelungen/Hobby-Projekte etc.).

1. Im ersten Schritt wird der I- und D-Anteil deaktiviert (d. h. ein P-Regler verwendet) und mit einer geringen Verstärkung ein stabiles Regelverhalten erzeugt.
2. Nun wird die Verstärkung des P-Reglers schrittweise erhöht bis die Regelung in eine Dauerschwingung, d. h. eine ungedämpfte Schwingung gerät (wir bringen die Regelung also an die Stabilitätsgrenze). Diese Verstärkung K_{PR\mathrm{,krit}} wird notiert und ebenso die Periodendauer der Schwingung T_{\mathrm{krit}}.
3. Mit den beiden Werten aus b) werden die Reglerparameter gemäss Tab. 6.2 bestimmt.

	K_{PR}	T_i	T_d
P	0.5 \cdot K_{PR\mathrm{,krit}}
PI	0.45 \cdot K_{PR\mathrm{,krit}}	0.85 \cdot T_{\mathrm{krit}}
PID	0.6 \cdot K_{PR\mathrm{,krit}}	0.5 \cdot T_{\mathrm{krit}}	0.12 \cdot T_{\mathrm{krit}}

Tab. 6.2: Einstellregeln nach Ziegler/Nichols (Schwingversuch)

K_{PR\mathrm{,krit}}

T_{\mathrm{krit}}

P PI PID

K_{PR}

T_i

T_d

Entwurf anhand der Sprungantwort

Bei dieser Methode nach Ziegler/Nichols werden die Reglereinstellungen von der Sprungantwort der Regelstrecke abgeleitet. Mittels Wendetangente (vgl. Hinweis 3.1) werden dabei die Ersatzzeitkonstanten T_e (Verzugszeit) und T_b (Ausgleichszeit) bestimmt und dann anhand von Tab. 6.3 die Reglerparameter berechnet.

	K_{PR}	T_i	T_d
P	\dfrac{T_b}{K_{PS} \cdot T_e}
PI	0.9 \cdot \dfrac{T_b}{K_{PS} \cdot T_e}	3.3 \cdot T_e
PID	1.2 \cdot \dfrac{T_b}{K_{PS} \cdot T_e}	2 \cdot T_e	0.5 \cdot T_e

Tab. 6.3: Einstellregeln nach Ziegler/Nichols (Sprungantwort)

K_{PS}

T_b

T_e

P PI PID

K_{PR}

T_i

T_d

6.2.2 Entwurf nach Chien/Hrones/Reswick (CHR)

Das Verfahren nach Chien/Hrones/Reswick basiert ebenfalls auf der Analyse der Sprungantwort und existiert für Strecken mit Ausgleich und Strecken ohne Ausgleich. Je nachdem, ob Überschwingen eher gewünscht wird oder nicht bzw. ob der Fokus auf dem Führungs- oder Störverhalten liegt, sind unterschiedliche Einstellregeln definiert.

Strecken mit Ausgleich

Mittels Wendetangente (vgl. Hinweis 3.1) werden die Ersatzzeitkonstanten T_e (Verzugszeit) und T_b (Ausgleichszeit) bestimmt und dann anhand von Tab. 6.4 die Reglerparameter berechnet.

mit Überschwingen
	Störverhalten	Führungsverhalten
P	K_{PR}=0.71\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e}	K_{PR}=0.71\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e}
PI	K_{PR}=0.71\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e} T_i=2.3\cdot T_e	K_{PR}=0.59\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e} T_i=T_b
PID	K_{PR}=1.2\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e} T_i=2.3\cdot T_e T_d=0.42\cdot T_e	K_{PR}=0.95\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e} T_i=1.35\cdot T_b T_d=0.47\cdot T_e

ohne Überschwingen
	Störverhalten	Führungsverhalten
P	K_{PR}=0.3\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e}	K_{PR}=0.3\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e}
PI	K_{PR}=0.59\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e} T_i=4\cdot T_e	K_{PR}=0.34\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e} T_i=1.2\cdot T_b
PID	K_{PR}=0.95\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e} T_i=2.4\cdot T_e T_d=0.42\cdot T_e	K_{PR}=0.59\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e} T_i=T_b T_d=0.5\cdot T_e

Tab. 6.4: Einstellregeln nach Chien/Hrones/Reswick (Strecken mit Ausgleich)

K_{PS}

T_b

T_e

P PI PID mit Überschwingen ohne Überschwingen Störverhalten Führungsverhalten

K_{PR}

T_i

T_d

Strecken ohne Ausgleich

Für Strecken ohne Ausgleich wird der Integrierbeiwert K_I und mittels angelegter Tangente die Verzugszeit T_e bestimmt (vgl. Hinweis 3.2) und damit anschliessend anhand der Tab. 6.5 die Reglerparameter bestimmt. Da bei Strecken ohne Ausgleich bereits in der Regelstrecke ein I-Anteil enthalten ist, wird dieser im PI/PID-Regler für gutes Führungsverhalten deaktiviert (dies ist mit T_i = \infty gemeint).

mit Überschwingen
	Störverhalten	Führungsverhalten
P	K_{PR}=0.71\cdot\dfrac{1}{K_{IS}\cdot T_e}	K_{PR}=0.71\cdot\dfrac{1}{K_{IS}\cdot T_e}
PI	K_{PR}=0.71\cdot\dfrac{1}{K_{IS}\cdot T_e} T_i=2.3\cdot T_e	K_{PR}=0.59\cdot\dfrac{1}{K_{IS}\cdot T_e} T_i=\infty
PID	K_{PR}=1.2\cdot\dfrac{1}{K_{IS}\cdot T_e} T_i=2\cdot T_e T_d=0.42\cdot T_e	K_{PR}=0.95\cdot\dfrac{1}{K_{IS}\cdot T_e} T_i=\infty T_d=0.47\cdot T_e

ohne Überschwingen
	Störverhalten	Führungsverhalten
P	K_{PR}=0.3\cdot\dfrac{1}{K_{IS}\cdot T_e}	K_{PR}=0.3\cdot\dfrac{1}{K_{IS}\cdot T_e}
PI	K_{PR}=0.59\cdot\dfrac{1}{K_{IS}\cdot T_e} T_i=4\cdot T_e	K_{PR}=0.34\cdot\dfrac{1}{K_{IS}\cdot T_e} T_i=\infty
PID	K_{PR}=0.95\cdot\dfrac{1}{K_{IS}\cdot T_e} T_i=2.4\cdot T_e T_d=0.42\cdot T_e	K_{PR}=0.59\cdot\dfrac{1}{K_{IS}\cdot T_e} T_i=\infty T_d=0.5\cdot T_e

Tab. 6.5: Einstellregeln nach Chien/Hrones/Reswick (Strecken ohne Ausgleich)

K_{IS}

T_e

P PI PID mit Überschwingen ohne Überschwingen Störverhalten Führungsverhalten

K_{PR}

T_i

T_d

HinweisCHR-Verfahren in BORIS

Das CHR-Verfahren ist in Boris implementiert und kann direkt im Zeitverlaufsdiagramm (→ PID-Entwurf) durchgeführt werden. Zuerst werden mittels Wendetangente/Tangente automatisch K_P, T_e und T_b bzw. K_I und T_e bestimmt und danach können damit je nach Auswahl (mit/ohne Überschwingen, Führungs- oder Störverhalten) die Reglerparameter bestimmt und optional direkt in einen PID-Block übertragen werden. Zu beachten ist, dass von der Strecke eine saubere/vollständige Einheitssprungantwort vorliegt (Eingangssprung von 0 auf 1 bei t=0).

Wir wählen das CHR-Verfahren als unser Standardverfahren, d. h. sofern nichts anderes vermerkt/gefordert wird, kannst du jeweils dieses Verfahren anwenden.

6.2.3 Entwurf nach Oppelt

Das Verfahren nach Oppelt funktioniert sehr ähnlich wie das CHR-Verfahren. Es basiert ebenfalls auf den Ersatzzeitkonstanten der Regelstrecke (vgl. Hinweis 3.1 bzw. Hinweis 3.2). Es wird häufig in der Chemietechnik eingesetzt, wo das Störverhalten im Vordergrund steht und führt deshalb zu einer eher geringen Dämpfung (also grossem Überschwingen bei einem Führungssprung).

P-Strecken
P	K_{PR} = \dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e}
PI	K_{PR} = 0.8\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e} \qquad T_i = 3 \cdot T_e
PD	K_{PR} = 1.2\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e} \qquad T_d = 0.22\ldots0.5\cdot T_e
PID	K_{PR} = 1.2\cdot\dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e} \qquad T_i = 2\cdot T_e \qquad T_d = 0.42\cdot T_e

I-Strecken
P	K_{PR} = \dfrac{0.5}{K_{IS}\cdot T_e}
PI	K_{PR} = \dfrac{0.42}{K_{IS}\cdot T_e} \qquad T_i = 5.8\cdot T_e
PD	K_{PR} = \dfrac{0.5}{K_{IS}\cdot T_e} \qquad T_d = 0.5\cdot T_e
PID	K_{PR} = \dfrac{0.4}{K_{IS}\cdot T_e} \qquad T_i = 3.2\cdot T_e \qquad T_d = 0.8\cdot T_e

Tab. 6.6: Einstellregeln nach Oppelt (Strecken mit/ohne Ausgleich)

K_{PS} K_{IS}

T_b

T_e

P-Strecke I-Strecke P PI PD PID

K_{PR}

T_i

T_d

6.2.4 Entwurf nach der T-Summen-Regel

Dieses Verfahren basiert auf der Summenzeitkonstante T_{\Sigma}, d. h. der Summe der Zeitkonstanten der Regelstrecke. Wenn sämtliche Zeitkonstanten bekannt sind, kann die Summenzeitkonstante direkt berechnet werden.

T_{\Sigma} = T_1 + T_2 + \ldots \qquad \mathsf{(inkl. allfälliger Totzeiten)}

In vielen Fällen sind die Zeitkonstanten nicht direkt bekannt und es wird das folgende grafische Verfahren angewendet (vgl. Abb. 6.3). Die Summenzeitkonstante T_{\Sigma} kann dort abgelesen werden, wo die beiden Flächen links bzw. rechts davon gerade gleich gross sind.

Abb. 6.3: Summenzeitkonstante

Mit der Summenzeitkonstante T_{\Sigma} können die Reglerparameter anhand von Tab. 6.7 bestimmt werden, wobei zwei Parametersätze (normal und schnell) vorliegen. Der schnellere Satz liefert ein schnelleres Führungsverhalten, jedoch auf Kosten der Dämpfung (höheres Überschwingen).

	normal	schnell
P	K_{PR} = \dfrac{1}{K_{PS}}
PD	K_{PR} = \dfrac{1}{K_{PS}} T_d = 0.33 \cdot T_{\Sigma}
PI	K_{PR} = \dfrac{0.5}{K_{PS}} T_i = 0.5 \cdot T_{\Sigma}	K_{PR} = \dfrac{1}{K_{PS}} T_i = 0.7 \cdot T_{\Sigma}
PID	K_{PR} = \dfrac{1}{K_{PS}} T_i = 0.66 \cdot T_{\Sigma} T_d = 0.167 \cdot T_{\Sigma}	K_{PR} = \dfrac{2}{K_{PS}} T_i = 0.8 \cdot T_{\Sigma} T_d = 0.194 \cdot T_{\Sigma}

Tab. 6.7: Einstellregeln gemäss T-Summen-Regel

K_{PS}

T_{\Sigma}

normal schnell P PD PI PID

K_{PR}

T_i

T_d

6.2.5 Entwurf nach dem Betragsoptimum

Dieses Verfahren ist für Strecken mit Ausgleich geeignet, die eine oder zwei dominante Zeitkonstanten aufweisen, d. h. eine oder zwei Zeitkonstanten, die deutlich grösser sind als die Summe der übrigen Zeitkonstanten T_{\Sigma^*}.

Eine dominante Zeitkonstante T_1

Liegt eine dominante Zeitkonstante T_1 vor, gilt also

T_1 \gg T_{\Sigma^*} \qquad \mathsf{mit} \qquad T_{\Sigma^*} = T_2 + T_3 + \ldots

so kann der Regler anhand von Tab. 6.8 parametriert werden.

	Reglerparameter
P	K_{PR} = \dfrac{T_1}{2 \cdot K_{PS} \cdot T_{\Sigma^*}}
PI	K_{PR} = \dfrac{T_1}{2 \cdot K_{PS} \cdot T_{\Sigma^*}} \qquad T_i = T_1

Tab. 6.8: Einstellregeln nach dem Betragsoptimum (1 dominante Zeitkonstante)

K_{PS}

T_1

T_{\Sigma^*}

P PI

K_{PR}

T_i

T_d

Zwei dominante Zeitkonstanten T_1 und T_2

Liegen zwei dominante Zeitkonstanten T_1 und T_2 vor, gilt also

T_1, T_2 \gg T_{\Sigma^*} \qquad \mathsf{mit} \qquad T_{\Sigma^*} = T_3 + T_4 + \ldots

so kann der Regler anhand von Tab. 6.9 parametriert werden.

	Reglerparameter
PI	K_{PR} = \dfrac{T_1^2 + T_2^2}{2 \cdot K_{PS} \cdot T_1 \cdot T_2} \qquad T_i = \dfrac{(T_1^2 + T_2^2) \cdot (T_1 + T_2)}{T_1^2 + T_1 \cdot T_2 + T_2^2}
PID	K_{PR} = \dfrac{T_1}{2 \cdot K_{PS} \cdot T_{\Sigma^*}} \qquad T_i = T_1 \qquad T_d = T_2

Tab. 6.9: Einstellregeln nach dem Betragsoptimum (2 dominante Zeitkonstanten)

K_{PS}

T_1

T_2

T_{\Sigma^*}

PI PID

K_{PR}

T_i

T_d

6.2.6 Entwurfsverfahren für schwingfähige Strecken

Für schwingfähige Strecken finden wir in Kahlert (2023) kein Entwurfsverfahren. Schwingfähige Strecken werden üblicherweise im Frequenzbereich entworfen, in den wir erst im nächsten Regelungstechnik-Modul vorstossen. Damit wir trotzdem ein Verfahren für P-T_2S-Strecken kennen, ist nachfolgend ein einfaches Verfahren aufgeführt.

Bei dem Verfahren versucht man die Schwingung der Strecke mit dem PID-Regler zu kompensieren, um idealerweise im Regelkreis P-T₁-Verhalten zu erreichen. Die P-T_2S-Regelstrecke wird bekanntlich mit der Kennkreisfrequenz \omega_0 und dem Dämpfungsgrad D beschrieben. Um die erwähnte Kompensation zu erreichen, setzt man:

T_i = \frac{2 \cdot D}{\omega_0} \qquad \mathsf{und} \qquad T_d = \frac{1}{2 \cdot D \cdot \omega_0}

Die Reglerverstärkung K_{PR} kann mit der nachfolgend aufgeführten Beziehung bestimmt werden, wobei T_{RK} der Zeitkonstanten des gewünschten Regelverhaltens (~P-T₁) entspricht. Falls keine Vorgaben bestehen, kann für T_{RK} initial 1/\omega_0 gewählt werden und dann mittels Finetuning manuell optimiert werden.

K_{PR} = \frac{T_i}{K_{PS} \cdot T_{RK}}

6.2.7 Entwurf mittels numerischer Optimierung

Die obigen Verfahren wurden z. T. vor langer Zeit entwickelt und sind limitiert in ihrer Anwendung. Mit dem Aufkommen von Computersimulationen bzw. numerischen Optimierungsverfahren können die Reglerparameter auch direkt anhand der Regelstrecke optimiert werden. Dabei wird ein bestimmtes Gütekriterium Q definiert und anschliessend die Reglerparameter so lange angepasst, bis ein Optimum (Minimum) gefunden wurde. \min_{K_{PR}, T_i, T_d} \, Q

Ein sinnvolles Gütekriterium für eine solche Optimierung wäre z. B. die Fläche zwischen Soll- und Istwertverlauf (diese entspricht in gewisser Weise der kumulierten Regelabweichung und wird als Regelfläche bezeichnet, vgl. Abb. 6.4). Wird diese Fläche minimiert, so erreichen wir folglich eine optimale Regelung. In der Regelungstechnik werden üblicherweise die nachfolgend aufgeführten Gütekriterien verwendet.

• Betragslineare Regelfläche IAE (Integral of Absolute Error) Q_{\mathrm{IAE}} = \int_0^\infty |e(t)| \, dt

Die obige Beziehung sieht kompliziert aus, doch das Integral der Regelabweichung |e(t)| über die Zeit entspricht genau der Regelfläche (Abweichung zwischen dem Soll- und Istverlauf). Da die Betragsfunktion |\ldots| mathematisch ungünstige Eigenschaften aufweist, verwendet man stattdessen häufig die quadrierte Regelabweichung e(t)^2.

• Quadratische Regelfläche ISE (Integral of Squared Error) Q_{\mathrm{ISE}} = \int_0^\infty e(t)^2 \, dt

Häufig möchte man Abweichungen stärker gewichten, wenn sie zeitlich später auftreten (vgl. bleibende Regelabweichung etc.). Darum gewichtet man die Regelfläche mit der Zeit und erhält die folgenden Gütekriterien:

• Zeitgewichtete betragslineare Regelfläche ITAE (Integral of Time-weighted Absolute Error) Q_{\mathrm{ITAE}} = \int_0^\infty t \cdot |e(t)| \, dt
• Zeitgewichtete quadratische Regelfläche ITSE (Integral of Time-weighted Squared Error) Q_{\mathrm{ITSE}} = \int_0^\infty t \cdot e(t)^2 \, dt

Wir werden uns nicht weiter mit dieser Methode beschäftigen, da wir die entsprechenden Python-Werkzeuge erst später kennenlernen werden. In Boris sind zwar gewisse Optimierungsverfahren implementiert, jedoch bietet das Python-Ökosystem deutlich mehr und flexiblere Möglichkeiten für solche Optimierungen.

In Abb. 6.4 ist ein Beispiel für eine numerische Optimierung dargestellt, bei der ein PI-Regler an einer P-T₄-Strecke optimiert wird, wobei das ITSE-Kriterium anhand der Führungssprungantwort minimiert wird.

Abb. 6.4: Numerische Optimierung

Aufgaben

TippAufgabe 6.1

Übungshalber soll das Entwurfsverfahren anhand des Schwingversuchs nach Ziegler/Nichols durchgeführt werden für eine P-T₃-Regelstrecke mit K_{PS} = 25 und T_1 = 3\,\mathrm{s}, T_2 = 2\,\mathrm{s} sowie T_3 = 1\,\mathrm{s}. Es soll damit ein PID-Regler parametriert werden.

Da wir die Regelstrecke genau kennen, würden wir dieses Verfahren in der Praxis natürlich nicht anwenden (dieses Verfahren ist ja genau für Fälle, in denen man die Regelstrecke nicht kennt). Es ist aber eine gute Übung, dieses Verfahren einmal anhand einer Simulation durchzuführen, da es das Thema Stabilität des Regelkreises schön behandelt.

WichtigLösung

Mit P-Regler und kleiner Verstärkung beginnen und dann Verstärkung schrittweise erhöhen bis Dauerschwingung resultiert.

Die eingestellte Verstärkung ist die kritische Verstärkung K_{PR,krit} und die Periodendauer der Schwingung ist T_{krit}.

K_{PR,krit} = 0.4

T_{krit} = 6.3 \, \mathrm{s}

Reglerparametrierung gemäss Ziegler-Nichols (Schwingversuch) gemäss Tab. 6.2:

K_{PR} = 0.6 \cdot K_{PR,krit} = 0.24

T_i = 0.5 \cdot T_{krit} = 3.15 \, \mathrm{s}

T_d = 0.12 \cdot T_{krit} = 0.756 \, \mathrm{s}

TippAufgabe 6.2

Führe das Chien/Hrones/Reswick-Verfahren durch, um einen PID-Regler an einer P-T₂-Strecke zu entwerfen. Die Regelstrecke ist durch die folgenden Parameter gegeben:

𝐾_{PS} = 5 \qquad 𝑇_1 = 1.0\,\mathrm{s} \qquad 𝑇_2 = 0.5\,\mathrm{s}

Der PID-Regler soll mit Fokus auf gutem Führungsverhalten entworfen werden und eine schnelle Regelung ermöglichen (also Überschwingen aufweisen). Simuliere die Führungssprungantwort und beurteile anschliessend die Regelung anhand der Gütekriterien, wobei ein 10%-Toleranzband verwendet werden soll.

• Anregelzeit [s] T_{cr} =
• Ausregelzeit [s] T_{cs} =
• Überschwingweite [%] x_m =
• Bleibende Regelabweichung e_\infty =

WichtigLösung

Sprungantwort-Analyse (Wendetangente):

K_{PS} = 5

T_e = 0.2 \, \mathrm{s}

T_b = 2.0 \, \mathrm{s}

Bestimmung der Reglerparameter gemäss Tab. 6.4:

K_{PR}=0.95 \cdot \dfrac{T_b}{K_{PS}\cdot T_e} = 1.9

T_i = 1.35 \cdot T_b = 2.7 \, \mathrm{s}

T_d=0.47 \cdot T_e = 0.094 \, \mathrm{s}

• Anregelzeit [s] T_{cr} = 0.4 \, \mathrm{s}
• Ausregelzeit [s] T_{cs} = 0.85 \, \mathrm{s}
• Überschwingweite [%] x_m = 14 \, \%
• Bleibende Regelabweichung e_\infty = 0

TippAufgabe 6.3

Gegeben ist folgende P-T₃-Regelstrecke:

𝐾_{PS} = 12.75 \qquad 𝑇_1 = 5.25\,\mathrm{s} \qquad 𝑇_2 = 2.5\,\mathrm{s} \qquad 𝑇_3 = 0.75\,\mathrm{s}

Baue den Regelkreis in Boris auf und entwerfe einen PID-Regler gemäss T-Summen-Regel. Stelle in einem Zeitverlaufsdiagramm die Führungssprungantwort dar, wobei die beiden Einstellungen (normal bzw. schnell) vergleichend dargestellt werden sollen.

WichtigLösung

T_{\Sigma} = T_1 + T_2 + T_3 = 8.5 \, \mathrm{s}

Die Reglerparametrierung erfolgt dann mittels Tab. 6.7.

Normaler Reglerentwurf:

K_{PR} = \frac{1}{K_{PS}} = 0.08

T_i = 0.66 \cdot T_{\Sigma} = 5.61

T_d = 0.167 \cdot T_{\Sigma} = 1.42

Schneller Reglerentwurf:

K_{PR} = \frac{2}{K_{PS}} = 0.16

T_i = 0.8 \cdot T_{\Sigma} = 6.8

T_d = 0.194 \cdot T_{\Sigma} = 1.65

Kahlert, Jörg. 2023. Crashkurs Regelungstechnik: eine praxisorientierte Einführung mit Begleitsoftware. 5., aktualisierte Auflage. https://d-nb.info/1272986799.