5 Stetige Regler

Bisher haben wir die Charakterisierung der Regelstrecke (RS) behandelt. Nun betrachten wir den vollständigen Regelkreis und befassen uns mit dem Regler (RE) bzw. dem Regelverhalten. Damit wir uns ab dem nächsten Unterrichtsblock mit den Schritten 3 (Anforderungen) und 4 (Reglerentwurf) des Regelungstechnik-Workflows (vgl. Abb. 2.1) befassen können, erarbeiten wir hier die Grundlagen.

Ziele

Du kannst die fünf Anforderungen an eine Regelung auswendig aufzählen.
Du kannst den Regelkreis in Boris für einen gegebenen Regler bzw. eine gegebene Regelstrecke aufbauen und die Führungssprungantwort (oder alternativ eine Störsprungantwort) simulieren.
Du kennst den P-Regler und dessen Vor- und Nachteile.
Du kennst den I-Regler bzw. den PI-Regler und kannst den Einfluss des I-Anteils im Regler erklären.
Du kennst den PID- bzw. PD-Regler und kannst den Einfluss des D-Anteils im Regler erklären.

5.1 Regelverhalten

In den bisherigen Unterrichtsblöcken haben wir primär die Regelstrecke (RS) betrachtet. Nun wenden wir uns dem Regelkreis zu. Wir modifizieren den Standardregelkreis (vgl. Abb. 1.15) etwas, um neben der Führungsgrösse auch optional Störgrössen simulieren zu können (z_1 greift dabei vor und z_2 nach der Regelstrecke ein).

Abb. 5.1: Regelkreis mit Störgrössen vor/nach der Regelstrecke

Standardregelkreis

Zur Erinnerung: Im Standardregelkreis sind das Stell- und das Messglied in der Regelstrecke integriert, d. h. es verbleiben nur die beiden Blöcke Regler (RE) und Regelstrecke (RS).

Bevor wir uns mit dem Regelverhalten auseinandersetzen, wollen wir uns noch einmal die Aufgabe einer Regelung vor Augen führen, die wir in Abschnitt 1 besprochen haben.

Bestimmte zeitveränderliche Grössen technischer (oder auch andersartiger) Prozesse sollen auf gewünschte Werte gebracht und dort gehalten werden bzw. einem vorgegebenen Verlauf folgen.

Stimmen Führungsgrösse (Sollwert) w und Regelgrösse (Istwert) x nicht überein, so tritt eine Regeldifferenz e auf. Der Regler hat nun die Aufgabe, aus dieser Regeldifferenz eine Stellgrösse y zu erzeugen, die dafür sorgt, dass Soll- und Istwert näher zusammenkommen bzw. letztlich möglichst übereinstimmen.

5.1.1 Führungs- bzw. Störverhalten

Wir kennen mittlerweile die Sprungantwort als Werkzeug zur Charakterisierung eines Übertragungsgliedes. Die Sprungantwort eignet sich auch, um den gesamten Regelkreis bzw. das Verhalten der Regelung zu beurteilen. Wollen wir die Reaktion auf einen Führungssprung (Sollwertsprung) untersuchen - wir sprechen dann vom Führungsverhalten - nennen wir die Sprungantwort Führungssprungantwort¹. Damit kann beurteilt werden, wie rasch und in welcher Weise die Regelgrösse (Istwert) die Führungsgrösse (Sollwert) erreicht und ob es eine bleibende Regelabweichung (bleibende Differenz zwischen Soll- und Istwert) gibt.

Um die Reaktion auf eine Störgrösse, also das Störverhalten zu untersuchen, simulieren wir einen Störsprung² (z. B. Sprung am Eingang z_1 oder z_2 in Abb. 5.1) und sprechen dann von der Störsprungantwort³.

5.2 Anforderungen

Als Erstes müssen wir uns mit den wichtigsten Anforderungen an eine Regelung befassen. Eine gute Regelung erfüllt im Allgemeinen die folgenden fünf Anforderungen:

Genauigkeit: Die Regelgrösse (Istwert) soll im stationären Zustand exakt mit der Führungsgrösse (Sollwert) übereinstimmen.
Schnelligkeit: Die Regelgrösse (Istwert) soll nach einer Führungsgrössenänderung (Sollwertänderung) oder nach dem Auftreten einer Störung in kurzer Zeit einen neuen stationären Zustand einnehmen.
Dämpfung: Der neue stationäre Zustand (nach einer Führungsgrössenänderung oder Störung) soll ohne allzu grosses Überschwingen erreicht werden.
Stabilität: Die Regelgrösse (Istwert) darf nach einer Störung oder einer Änderung der Führungsgrösse (Sollwertänderung) nicht unkontrolliert reagieren, d. h. nicht in eine Dauerschwingung oder aufklingende Schwingung geraten.
Robustheit: Die Regelung soll auch entfernt vom regulären Arbeitspunkt bzw. bei Veränderungen der Regelstrecke (z. B. bei Verschleisserscheinungen/Abnützungen/Temperaturänderungen) zufriedenstellend funktionieren.

Im folgenden Diagramm können typische Führungssprungantworten ein-/ausgeblendet werden, um die oben genannten Anforderungen intuitiv zu verstehen.

Übung

Überlege dir für jeden Legendeneintrag, wie die entsprechende Führungssprungantwort typischerweise aussehen könnte und klicke anschliessend auf den Legendeneintrag, um die Kurve einzublenden.

Abb. 5.2: Anforderungen

5.3 Regler

Mit den oben aufgeführten Anforderungen (vgl. Abschn. 5.2) im Hinterkopf betrachten wir nun die nachfolgend aufgelisteten Regler und versuchen jeweils ihre Vor- und Nachteile herauszuarbeiten. Es geht primär um das qualitative Verhalten der Regelung. Wie man die Regler einstellt/parametriert, werden wir uns in einem zukünftigen Unterrichtsblock anschauen.

P-Regler
I-Regler
PI-Regler
PID-Regler
PD-Regler

Wir nennen die oben genannten Regler auch stetige Regler, da sie eine stetige⁴ (kontinuierliche) Stellgrösse erzeugen.

Stellgrösse

Der Regler hat die Aufgabe aus der Regeldifferenz e in möglichst intelligenter Weise eine Stellgrösse y zu erzeugen. Der Zusammenhang zwischen Stellgrösse und Regeldifferenz kann wiederum mathematisch (Reglergleichung) oder grafisch (Sprungantwort) dargestellt werden.

Anmerkung: In Realität kann die Stellgrösse nicht beliebige Werte annehmen, da immer irgendwo Begrenzungen/Anschläge vorhanden sind. Wir ignorieren dies im Moment und gehen im nächsten Unterrichtsblock darauf ein.

Als beispielhafte Regelstrecke für die nachfolgenden Simulationen dient uns eine P-T₃-Strecke mit K_P=10, T_1=3\,\mathrm{s}, T_2=0.5\,\mathrm{s} sowie T_3=0.1\,\mathrm{s}.

5.3.1 P-Regler (Proportional-Regler)

Der einfachste aller Regler ist der P-Regler, da es sich dabei um das bekannte P-Glied handelt. Wie wir wissen, wird ein P-Glied mit einem einzigen Parameter, dem Proportionalbeiwert K_P beschrieben (in diesem Kontext häufig als Reglerverstärkung oder einfach Verstärkung bezeichnet).

y(t) = K_P \cdot e(t) \tag{5.1}

Reglerverstärkung

Der Proportionalbeiwert des Reglers (Reglerverstärkung) darf nicht mit dem Proportionalbeiwert der Strecke (Streckenverstärkung) verwechselt werden. Beide werden i. Allg. mit K_P bezeichnet. Falls Verwechslungsgefahr herrscht, wird zur Unterscheidung K_{PR} für den Regler sowie K_{PS} für die Strecke verwendet.

Wir beginnen mit einer Reglerverstärkung von K_P=0.5 und betrachten nachfolgend die Führungssprungantwort.

Abb. 5.3: Führungssprungantwort (P-Regler mit K_P=0.5)

Das anfängliche Verhalten scheint sehr gut zu sein, doch im stationären Zustand bleibt eine deutliche Regeldifferenz bestehen. Warum sich eine bleibende Regelabweichung einstellt, können wir in der folgenden Animation sehr schön sehen. Die Animation zeigt das Regelverhalten in Zeitlupentempo und man sieht schön, wie sich der stationäre Zustand allmählich einstellt. Der Sollwert kann nicht erreicht werden, da sonst die Regeldifferenz und damit die Stellgrösse null werden würden, was wiederum eine Ausgangsgrösse von null ergeben würde. Es stellt sich also ein entsprechendes Gleichgewicht⁵ ein.

Abb. 5.4: Blockschaltbild-Animation der obigen Führungssprungantwort

Um zu untersuchen, ob eine höhere Verstärkung die Situation verbessert, erhöhen wir die Verstärkung auf K_P=1.0.

Abb. 5.5: Führungssprungantwort (P-Regler mit K_P=1.0)

Wir stellen fest, dass durch die Erhöhung der Verstärkung die bleibende Regelabweichung abnimmt, die Schwingneigung allerdings zunimmt. Die Regelung ist also schlechter gedämpft. Dies ist ein generelles Problem in der Regelungstechnik und begrenzt die maximal mögliche Verstärkung.

Nachfolgend ist die Führungssprungantwort für eine Verstärkung K_P=3.0 dargestellt und man kann sich gut vorstellen, dass eine weitere Erhöhung der Verstärkung allmählich zu einer Dauerschwingung bzw. schliesslich zu instabilem Verhalten führt.

Abb. 5.6: Führungssprungantwort (P-Regler mit K_P=3.0)

P-Regler an P-Strecke

Als Fazit können wir festhalten, dass der P-Regler ein rasches Erreichen des stationären Zustandes ermöglicht, allerdings verbleibt an einer P-Strecke immer eine bleibende Regelabweichung. Diese kann durch die Erhöhung der Verstärkung zwar verringert werden, allerdings führt dies zu einer Verschlechterung der Dämpfung.

Es scheint so, als wäre der P-Regler aus den oben genannten Gründen praktisch unbrauchbar bzw. nur für sehr primitive Regelungen brauchbar. Wir werden später aber sehen, dass der P-Regler an I-Strecken zu sehr gutem Verhalten führen kann.

Störsprungantwort

Um den Einfluss von Störungen zu untersuchen, simulieren wir entsprechende Störsprungantworten. Wir setzen dabei w=0 und leiten ein Sprungsignal am Störeingang z_1 oder z_2 ein. Die Störsprungantwort zeigt uns, welchen Einfluss eine Störung auf das Regelverhalten hat. Im Idealfall geht die Störsprungantwort möglichst rasch gegen 0 (was bedeutet, dass die Störung vollständig ausgeregelt wird).

Wir stellen fest, dass der P-Regler die Störung z_2 nicht vollständig ausregeln kann und es auch hier (nicht überraschend) zu einer bleibenden Regeldifferenz kommt. Wir verzichten hier auf die Störgrösse z_1, da qualitativ dasselbe Verhalten resultiert (der Einfluss von z_1 ist allerdings deutlich grösser, da sie noch von der Strecke verstärkt wird).

Führungsrampenantwort

Abschliessend wollen wir wieder die Führungsgrösse vorgeben, aber diesmal rampenförmig hochfahren (wir sprechen von einer Führungsrampe). Damit können wir das Führungsverhalten einer Folgeregelung beurteilen. Als Beispiel einer Folgeregelung kann man sich z. B. eine Drehzahl- bzw. Geschwindigkeitsregelung eines Elektromotors vorstellen, bei der ein bestimmtes Geschwindigkeitsprofil abgefahren werden soll. Dabei wird der Sollwert (gemäss Geschwindigkeitsprofil) i. Allg. dauernd verändert.

Wir stellen fest, dass die Regeldifferenz beim rampenförmigen Sollwertverlauf sogar immer grösser wird, d. h. ein P-Regler wäre für eine Folgeregelung an einer P-Strecke ungeeignet.

Das Grundproblem des P-Reglers ist, dass nur eine Stellgrösse erzeugt wird, wenn die Regeldifferenz ungleich 0 ist. Das bedeutet, dass der Sollwert nie ganz erreicht werden kann. Um die Situation zu verbessern, bräuchten wir einen Regler, der eine Ausgangsgrösse erzeugt, wenn der Eingang gleich 0 ist bzw. bei einer konstanten Eingangsgrösse eine ansteigende Ausgangsgrösse erzeugt. Fällt dir ein Übertragungsglied ein, das diese Eigenschaften aufweist?

5.3.2 I-Regler (Integral-Regler)

Im Gegensatz zum P-Glied kann ein I-Glied auch einen Wert ausgeben, wenn der Eingang gleich 0 ist. Das I-Glied integriert das Eingangssignal, d. h. wenn 0 am Eingang anliegt, ändert sich das Integral nicht mehr und der Wert des Integrals (Ausgangsgrösse) bleibt konstant. Bei einer konstanten Eingangsgrösse nimmt die Ausgangsgrösse stetig zu, wie wir das von der Sprungantwort des I-Gliedes kennen.

Verwenden wir das I-Glied als Regler, so sprechen wir vom I-Regler. Beschrieben wird dieser mit dem bekannten Integrierbeiwert K_I, den wir wiederum auch als Reglerverstärkung oder einfach Verstärkung bezeichnen.

y(t) = K_I \cdot \int e(t) \, \mathrm{d}t \tag{5.2}

Abb. 5.9: Führungssprungantwort (I-Regler mit K_I=0.008)

Wir sehen, dass der I-Regler tatsächlich zu keiner bleibenden Abweichung führt, d. h. eine genaue Regelung ermöglicht. Leider dauert es sehr lange bis der Sollwert erreicht wird, d. h. wir versuchen die Schnelligkeit durch die Verdopplung der Verstärkung zu verbessern.

Die Schnelligkeit konnte durch eine grössere Verstärkung tatsächlich erhöht werden, es dauert jedoch immer noch relativ lange. Die Schwingneigung hat ebenfalls zugenommen (= geringere Dämpfung), d. h. eine weitere Erhöhung der Verstärkung ist wiederum problematisch.

I-Regler

Als Fazit können wir festhalten, dass der I-Regler zum Verschwinden der Regelabweichung führt, d. h. die Regelung ist genau. Allerdings ist die Regelung mit dem I-Regler langsam.

Der (reine) I-Regler wird in der Praxis (ausser in seltenen Spezialfällen) praktisch nicht eingesetzt, da der nachfolgend besprochene PI-Regler in jeder Hinsicht überlegen ist.

5.3.3 PI-Regler (Proportional-Integral-Regler)

Nachdem wir die Vor- und Nachteile des P- bzw. des I-Reglers kennengelernt haben, stellt sich die Frage, ob die positiven Eigenschaften der beiden Regler vereint werden können.

P-Regler: schnell, aber ungenau
I-Regler: langsam, aber genau

Dies führt uns zum PI-Regler, der als Parallelschaltung⁶ von P- und I-Regler verstanden werden kann.

Die obige Struktur bzw. das Blockschaltbild des PI-Reglers (vgl. Abb. 5.11) ist mathematisch eine Addition und lässt sich folgendermassen formulieren:

\begin{aligned} y(t) &= y_P(t) + y_I(t) \\ &= K_P \cdot \left( e(t) + \frac{1}{T_i} \cdot \int{e(t) \, \mathrm{d}t} \right) \end{aligned} \tag{5.3}

Neben dem Proportionalbeiwert K_P (Verstärkung) wird zur Beschreibung des PI-Reglers die Nachstellzeit T_i verwendet⁷. Die oben gezeigte Addition von P- und I-Anteil lässt sich in der Sprungantwort des PI-Reglers sehr schön erkennen und ebenfalls ist darin die Wirkung von K_P bzw. T_i zu sehen.

Durch diese Überlagerung von P- und I-Anteil ist der PI-Regler in der Lage die wichtigen Anforderungen Schnelligkeit (durch P-Regler) und Genauigkeit (durch I-Regler) zu erfüllen.

Abb. 5.13: Führungssprungantwort (PI-Regler mit K_P=0.16 und T_i=3\,\mathrm{s})

Damit kann im Vergleich zum (reinen) P- bzw. I-Regler ein deutlich besseres Verhalten erreicht werden. Wiederum kann mit der Erhöhung der Verstärkung ein Überschwingen und damit eine noch schnellere Regelung erzielt werden.

PI-Regler

Der PI-Regler vereint die positiven Eigenschaften des P- und I-Reglers, d. h. ermöglicht i. Allg. eine schnelle und genaue Regelung.

In vielen Branchen (Verfahrenstechnik, Lebensmittelindustrie, Öl- und Gasindustrie, Gebäudetechnik etc.) ist der PI-Regler der Standardregler.

Störsprungantwort

Betrachten wir wieder das Störverhalten, so stellen wir fest, dass nun auch die Störgrössen komplett ausgeregelt werden (analog für z_1).

Führungsrampenantwort

Um das Folgeverhalten zu beurteilen, betrachten wir abschliessend noch die Führungsrampenantwort. Wir stellen fest, dass zwar eine Regelabweichung auftritt, diese bleibt aber konstant (nicht wie beim P-Regler, wo diese immer grösser wird). Eine solche Abweichung wird als Schleppfehler bezeichnet.

5.3.4 PID-Regler (Proportional-Integral-Differential-Regler)

Erweitert man den PI-Regler um einen weiteren parallelen Zweig mit einem D-Anteil (Differential- oder kurz D-Glied), so resultiert der äusserst populäre PID-Regler.

Die obige Struktur bzw. das Blockschaltbild des PID-Reglers (vgl. Abb. 5.17) lässt sich mathematisch folgendermassen formulieren:

\begin{aligned} y(t) &= y_P(t) + y_I(t) + y_D(t) \\ &= K_P \cdot \left( e(t) + \frac{1}{T_i} \cdot \int{e(t) \, \mathrm{d}t} + T_d \cdot \dot{e}(t) \right) \end{aligned} \tag{5.4}

Um die Sprungantwort des PID-Reglers zu verstehen, betrachten wir die nachfolgende Visualisierung. Die Sprungantwort des PID-Reglers lässt sich in die drei Anteile P, I und D zerlegen.

Abb. 5.18: Visualisierung zur Sprungantwort des PID-Reglers

Neben dem Proportionalbeiwert K_P (Verstärkung) und der Nachstellzeit T_i (I-Anteil) kommt nun eine dritte Kenngrösse, nämlich die Vorhaltezeit T_d hinzu. Der D-Anteil lässt sich in der Sprungantwort des PID-Reglers durch einen (theoretisch unendlich hohen) Impuls erkennen.

Abb. 5.19: Sprungantwort des idealen PID-Reglers

Die obige Variante des PID-Reglers ist in der Praxis nicht brauchbar/realisierbar, wir sprechen daher vom idealen PID-Regler. Dieser würde folgende Probleme mit sich bringen:

Der ideale D-Anteil (Ableitung) würde zu sehr hohen Stellgrössen führen. In der Realität kann eine Stellgrösse nicht beliebig grosse Werte einnehmen und wäre daher rasch in der Begrenzung (Anschlag).
Das zurückgeführte Signal stammt von einem Messglied/Sensor und ist somit immer mit Rauschen behaftet. Der ideale D-Anteil würde auch minimales Rauschen stark verstärken, was sich äusserst negativ auf das Regelverhalten auswirken würde.

In der Praxis wird der D-Anteil daher mit einer kleinen Verzögerung T_{\mathrm{Vz}} implementiert (Reihenschaltung von D- und P-T₁-Glied, d. h. als D-T₁-Glied) und man spricht vom realen PID-Regler bzw. dem PID-T₁-Regler. Man kann sich das als Filterung vorstellen, sodass hohe Frequenzen nicht beliebig verstärkt werden.

Abb. 5.20: Sprungantwort des realen PID-Reglers

Der D-Anteil sorgt dafür, dass der Regler spezifisch auf die Änderungsgeschwindigkeit der Regeldifferenz reagieren kann. Man kann sich den D-Anteil als eine Art “Blick in die Zukunft” vorstellen, da er auf die Ableitung (Steigung) der Regeldifferenz reagiert und damit die Stellgrösse “vorausschauend” verstellt. Dadurch kann i. Allg. das Überschwingen verringert werden, d. h. die Dämpfung/Stabilität erhöht werden.

Mit dem PID-Regler haben wir einen sehr flexiblen und äusserst mächtigen Regler, der für viele Anwendungen ein sehr gutes Regelverhalten ermöglicht und trotzdem durch eine vergleichsweise einfache Struktur bzw. Parametrierung besticht. Aus diesen Gründen ist er als Standardregler allgegenwärtig in der Industrie.

PID-Regler

Durch die Vereinigung von P-, I- und D-Anteil im Regler ist generell eine schnelle, genaue und gut gedämpfte Regelung realisierbar. Der P-Anteil reagiert auf die aktuelle Regelabweichung, der I-Anteil auf die integrierte Regelabweichung (Vergangenheit) und der D-Anteil auf die Änderung der Regelabweichung (Zukunft).

Der PID-Regler gilt als Standardregler in vielen Industriezweigen (z. B. Robotik, Automobiltechnik, Luft- und Raumfahrt etc.), in denen generell dynamische Prozesse geregelt werden müssen.

5.3.5 PD-Regler (Proportional-Differential-Regler)

Entfernt man den I-Anteil des PID-Reglers (vgl. Abb. 5.17), so resultiert der PD-Regler. Dieser kommt zum Einsatz, wenn z. B. in der Regelstrecke bereits ein I-Anteil enthalten ist und im Regler keiner mehr nötig ist.

Mathematisch lässt sich der PD-Regler folgendermassen formulieren:

\begin{aligned} y(t) &= y_P(t) + y_D(t) \\ &= K_P \cdot \left( e(t) + T_d \cdot \dot{e}(t) \right) \end{aligned} \tag{5.5}

Die Sprungantwort sollte mit dem aktuellen Wissen zu keiner Überraschung mehr führen. Nachfolgend ist die Sprungantwort des realen PD-Reglers gezeigt, d. h. mit der zusätzlichen Verzögerung T_{\mathrm{Vz}}.

Abb. 5.22: Sprungantwort des realen PD-Reglers

Da der PD-Regler keinen I-Anteil aufweist, würde er an der obigen P-T₃-Strecke (wie der P-Regler) eine bleibende Regelabweichung produzieren. Die Dynamik könnte allerdings verbessert werden (Schnelligkeit, Dämpfung).

Um die Vorteile des PD-Reglers deutlich sichtbar zu machen, betrachten wir im Folgenden eine I-T₂-Strecke, d. h. eine Strecke, die selber bereits einen I-Anteil enthält. Als Streckenparameter verwenden wir K_I = 0.2 sowie T_1 = 2\,\mathrm{s} und T_2 = 0.5\,\mathrm{s}.

Wir beginnen wieder mit dem einfachen P-Regler und werden feststellen, dass dieser an einer I-Strecke keine bleibende Regelabweichung aufweist - da in der Strecke ein I-Anteil vorhanden ist.

Abb. 5.23: Führungssprungantwort (P-Regler mit K_P=1 an I-Strecke)

Wir verdoppeln die Verstärkung und beobachten wiederum, dass die Schwingneigung deutlich zunimmt. Eine weitere Erhöhung der Verstärkung des P-Reglers ist daher nicht zu empfehlen.

Abb. 5.24: Führungssprungantwort (P-Regler mit K_P=2 an I-Strecke)

Verwenden wir anstelle des P-Reglers nun einen PD-Regler, so sieht die Situation deutlich anders aus. Der D-Anteil greift im entscheidenden Moment stark ein und verringert dadurch die Regelabweichung ziemlich rasch. Der P-Anteil “muss” sich dann “nur” noch um die verbleibende Regelabweichung kümmern (und ein Überreagieren bzw. Überschwingen wird dadurch reduziert). Damit ist wiederum eine höhere Verstärkung möglich.

Abb. 5.25: Führungssprungantwort (PD-Regler mit K_P=3 und T_d=2\,\mathrm{s} an I-Strecke)

P-/PD-Regler an I-Strecke

An I-Strecken wird kein I-Anteil im Regler benötigt, um stationäre Genauigkeit zu erreichen, da bereits ein I-Anteil in der Strecke enthalten ist. Daher sind P-Regler bzw. PD-Regler für solche Strecken gut geeignet, wobei der PD-Regler vorteilhaft ist in Bezug auf die Schnelligkeit und Dämpfung.

5.3.5.1 Störgrössensprung

Um abschliessend das Störverhalten des P/PD-Reglers an einer I-Strecke zu beurteilen, prägen wir wiederum einen Störgrössensprung am Eingang z_2 (nach der Regelstrecke) auf und betrachten das Regelverhalten.

Abb. 5.26: Störsprungantwort z_2 (PD-Regler mit K_P=3 und T_d=2\,\mathrm{s} an I-Strecke)

Eine Störung am Regelstreckenausgang (z_2) kann vom P/PD-Regler an einer I-Strecke komplett ausgeregelt werden (vgl. obige Abb.), eine Störung am Streckeneingang (z_1) allerdings nicht (vgl. nachfolgende Abb.), da wir zu deren Kompensation wiederum eine Stellgrösse benötigen würden bei einer Regeldifferenz von 0.

Abb. 5.27: Störsprungantwort z_1 (PD-Regler mit K_P=3 und T_d=2\,\mathrm{s} an I-Strecke)

5.4 Zusammenfassung

Die folgende Tabelle fasst die Erkenntnisse in Bezug auf die bleibende Regelabweichung kompakt zusammen. Je nachdem, ob wir einen I-Anteil im Regler (1. Spalte) bzw. in der Strecke (2. Spalte) haben, ergibt sich eine bleibende Regelabweichung bei einem Führungssprung (3. Spalte) bzw. einer Führungsrampe (4. Spalte) und bei Störgrössen am Streckeneingang (5. Spalte) bzw. Streckenausgang (6. Spalte).

Reglertyp	Streckentyp	Regeldifferenz bei Sprung w	Regeldifferenz bei Rampe w	Regeldifferenz bei Sprung z_1	Regeldifferenz bei Sprung z_2
P/PD	P	\dfrac{\Delta w}{1 + K_{PR} \cdot K_{PS}}	\infty	\dfrac{K_{PS} \cdot \Delta z_1}{1 + K_{PR} \cdot K_{PS}}	\dfrac{\Delta z_2}{1 + K_{PR} \cdot K_{PS}}
PI/PID	P	0	\dfrac{\Delta w}{\left(\dfrac{K_{PR}}{T_i}\right) \cdot K_{PS}}	0	0
P/PD	I	0	\dfrac{\Delta w}{K_{PR} \cdot K_{IS}}	\dfrac{\Delta z_1}{K_{PR}}	0
PI/PID	I	0	0	0	0

Im folgenden Video können wir nochmals die qualitativen Einflüsse des P-, I- und D-Anteils im Regler sehr schön erkennen.

Abb. 5.28: Gregory L. Holst, Hardware Demo of a Digital PID Controller Quelle

Aufgaben

Aufgabe 5.1

Um den Umgang mit Boris zu üben, sollen die obigen Simulationen reproduziert werden. Spiele dabei mit den Reglerparametern und beobachte die Auswirkungen auf das Regelverhalten.

Lösung

Für Führungssprungantwort werden Störgrössen auf 0 gesetzt und für Störgrössensprung wird Führungsgrösse (und andere Störgrösse) auf 0 gesetzt. Für eine Führungsrampe wird im Funktionsgenerator von Puls auf Funktion (im Eingabefeld t eingeben) umgestellt (oder alternativ Puls mit Anstiegszeit TR).

Bsp.: Führungssprungantwort PI an P-Strecke (analog für P/PID-Regler etc.):

Bsp.: Führungssprungantwort PD an I-Strecke (analog für P-Regler etc.):

Aufgabe 5.2

Simuliere die Führungssprungantwort eines Regelkreises mit einem PI-Regler und einer P-T₂-Strecke. Die Streckenparameter sind: K_P=2.75 \quad T_1=2.4\,\mathrm{s} \quad \text{und} \quad T_2=0.8\,\mathrm{s}

Für den PI-Regler soll T_i = T_1 verwendet werden und die Verstärkung so eingestellt werden, dass ein Überschwingen von ca. 10% des Sollwertes erreicht wird. Stelle die Simulationsdauer auf 20 s ein.

Menu Messung → Aktivieren im Zeitverlaufsdiagramm ermöglicht das genaue Ablesen von Werten. Mit der Maus kann man die Messpunkte verschieben und so die Werte an der gewünschten Stelle ablesen.

Lösung

Mit K_P = 0.75 erreichen wir ein Überschwingen von ca. 10%.

Aufgabe 5.3

Eine I-T₁-Strecke mit T_I=0.5\,\mathrm{s} und T_1=0.75\,\mathrm{s} soll mit einem P-Regler geregelt werden. Zwischen dem I-Glied und dem P-T₁-Glied (Reminder: Ein I-T₁ ist eine Reihenschaltung von I und P-T₁) greift eine Störgrösse z ein.

Stelle die Verstärkung des P-Reglers so ein, dass die Regelabweichung bei der Störsprungantwort spätestens nach 2.5 s auf +/- 0.1 abgesunken ist. Simuliere anschliessen die Führungssprungantwort und lese das Überschwingen ab (in % des Sollwertes).

Mit dem Block Verknüpfer (Palette Funktion) kann die Störgrösse z zwischen I-Glied und P-T₁-Glied eingeleitet werden. Die Störgrössensprung selbst wird mit dem Funktionsgenerator erzeugt (analog zur Führungsgrösse).

Lösung

Störsprungantwort

Mit K_P = 0.75 ist die Störsprungantwort für t > 2.5\,\mathrm{s} nie mehr ausserhalb des +/-0.1-Bandes.

Führungssprungantwort

Damit resultiert ein Überschwingen von ca. 20%.

# Stetige Regler {#sec-re} Bisher haben wir die Charakterisierung der Regelstrecke (RS) behandelt. Nun betrachten wir den vollständigen Regelkreis und befassen uns mit dem Regler (RE) bzw. dem Regelverhalten. Damit wir uns ab dem nächsten Unterrichtsblock mit den Schritten 3 (*Anforderungen*) und 4 (*Reglerentwurf*) des Regelungstechnik-Workflows (vgl. @fig-workflow) befassen können, erarbeiten wir hier die Grundlagen. ::: {.callout-important title="Ziele"} - Du kannst die fünf Anforderungen an eine Regelung auswendig aufzählen. - Du kannst den Regelkreis in Boris für einen gegebenen Regler bzw. eine gegebene Regelstrecke aufbauen und die Führungssprungantwort (oder alternativ eine Störsprungantwort) simulieren. - Du kennst den P-Regler und dessen Vor- und Nachteile. - Du kennst den I-Regler bzw. den PI-Regler und kannst den Einfluss des I-Anteils im Regler erklären. - Du kennst den PID- bzw. PD-Regler und kannst den Einfluss des D-Anteils im Regler erklären. ::: ## Regelverhalten In den bisherigen Unterrichtsblöcken haben wir primär die Regelstrecke (RS) betrachtet. Nun wenden wir uns dem Regelkreis zu. Wir modifizieren den Standardregelkreis (vgl. @fig-rk) etwas, um neben der Führungsgrösse auch optional Störgrössen simulieren zu können ($z_1$ greift dabei vor und $z_2$ nach der Regelstrecke ein). ![Regelkreis mit Störgrössen vor/nach der Regelstrecke](../images/diagrams/BSB_RK_stoergroessen.svg){width=80% #fig-rk-stoergroessen} ::: {.callout-important} ## Standardregelkreis Zur Erinnerung: Im Standardregelkreis sind das Stell- und das Messglied in der Regelstrecke integriert, d. h. es verbleiben nur die beiden Blöcke **Regler** (RE) und **Regelstrecke** (RS). ::: Bevor wir uns mit dem Regelverhalten auseinandersetzen, wollen wir uns noch einmal die *Aufgabe einer Regelung* vor Augen führen, die wir in @sec-intro besprochen haben. > Bestimmte zeitveränderliche Grössen technischer (oder auch andersartiger) Prozesse sollen auf gewünschte Werte gebracht und dort gehalten werden bzw. einem vorgegebenen Verlauf folgen. Stimmen Führungsgrösse (Sollwert) $w$ und Regelgrösse (Istwert) $x$ nicht überein, so tritt eine Regeldifferenz $e$ auf. Der Regler hat nun die Aufgabe, aus dieser Regeldifferenz eine Stellgrösse $y$ zu erzeugen, die dafür sorgt, dass Soll- und Istwert näher zusammenkommen bzw. letztlich möglichst übereinstimmen. ### Führungs- bzw. Störverhalten Wir kennen mittlerweile die Sprungantwort als Werkzeug zur Charakterisierung eines Übertragungsgliedes. Die Sprungantwort eignet sich auch, um den gesamten Regelkreis bzw. das Verhalten der Regelung zu beurteilen. Wollen wir die Reaktion auf einen Führungssprung (Sollwertsprung) untersuchen - wir sprechen dann vom **Führungsverhalten** - nennen wir die Sprungantwort **Führungssprungantwort**[^einheitssprung]. Damit kann beurteilt werden, wie rasch und in welcher Weise die Regelgrösse (Istwert) die Führungsgrösse (Sollwert) erreicht und ob es eine bleibende Regelabweichung (bleibende Differenz zwischen Soll- und Istwert) gibt. Um die Reaktion auf eine Störgrösse, also das **Störverhalten** zu untersuchen, simulieren wir einen Störsprung[^superposition] (z. B. Sprung am Eingang $z_1$ oder $z_2$ in @fig-rk-stoergroessen) und sprechen dann von der **Störsprungantwort**[^einheitssprung]. ## Anforderungen {#sec-anforderungen} Als Erstes müssen wir uns mit den wichtigsten **Anforderungen an eine Regelung** befassen. Eine *gute* Regelung erfüllt im Allgemeinen die folgenden fünf Anforderungen: **Genauigkeit** : Die Regelgrösse (Istwert) soll im stationären Zustand exakt mit der Führungsgrösse (Sollwert) übereinstimmen. **Schnelligkeit** : Die Regelgrösse (Istwert) soll nach einer Führungsgrössenänderung (Sollwertänderung) oder nach dem Auftreten einer Störung in kurzer Zeit einen neuen stationären Zustand einnehmen. **Dämpfung** : Der neue stationäre Zustand (nach einer Führungsgrössenänderung oder Störung) soll ohne allzu grosses Überschwingen erreicht werden. **Stabilität** : Die Regelgrösse (Istwert) darf nach einer Störung oder einer Änderung der Führungsgrösse (Sollwertänderung) nicht unkontrolliert reagieren, d. h. nicht in eine Dauerschwingung oder aufklingende Schwingung geraten. **Robustheit** : Die Regelung soll auch entfernt vom regulären Arbeitspunkt bzw. bei Veränderungen der Regelstrecke (z. B. bei Verschleisserscheinungen/Abnützungen/Temperaturänderungen) zufriedenstellend funktionieren. Im folgenden Diagramm können typische Führungssprungantworten ein-/ausgeblendet werden, um die oben genannten Anforderungen intuitiv zu verstehen. ::: {.callout-tip} ## Übung Überlege dir für jeden Legendeneintrag, wie die entsprechende Führungssprungantwort typischerweise aussehen könnte und klicke anschliessend auf den Legendeneintrag, um die Kurve einzublenden. ::: ::: {#fig-anforderungen} <object data="../images/diagrams/Anforderungen.svg" type="image/svg+xml" style="max-width:100%; aspect-ratio:703.977857/239.370958;"></object> Anforderungen ::: ## Regler Mit den oben aufgeführten Anforderungen (vgl. @sec-anforderungen) im Hinterkopf betrachten wir nun die nachfolgend aufgelisteten Regler und versuchen jeweils ihre Vor- und Nachteile herauszuarbeiten. Es geht primär um das qualitative Verhalten der Regelung. Wie man die Regler einstellt/parametriert, werden wir uns in einem zukünftigen Unterrichtsblock anschauen. ::: {.icon-list} - [P-Regler](#sec-p-regler) - [I-Regler](#sec-i-regler) - [PI-Regler](#sec-pi-regler) - [PID-Regler](#sec-pid-regler) - [PD-Regler](#sec-pd-regler) ::: Wir nennen die oben genannten Regler auch *stetige* Regler, da sie eine stetige[^unstetig] (kontinuierliche) Stellgrösse erzeugen. ::: {.callout-important} ## Stellgrösse Der Regler hat die Aufgabe aus der Regeldifferenz $e$ in möglichst intelligenter Weise eine Stellgrösse $y$ zu erzeugen. Der Zusammenhang zwischen Stellgrösse und Regeldifferenz kann wiederum mathematisch (Reglergleichung) oder grafisch (Sprungantwort) dargestellt werden. ![](../images/diagrams/Uebertragungsglied_Regler.svg){width=80% fig-align="center"} Anmerkung: In Realität kann die Stellgrösse nicht beliebige Werte annehmen, da immer irgendwo Begrenzungen/Anschläge vorhanden sind. Wir ignorieren dies im Moment und gehen im nächsten Unterrichtsblock darauf ein. ::: Als beispielhafte Regelstrecke für die nachfolgenden Simulationen dient uns eine P-T~3~-Strecke mit $K_P=10$, $T_1=3\,\mathrm{s}$, $T_2=0.5\,\mathrm{s}$ sowie $T_3=0.1\,\mathrm{s}$. ### P-Regler (Proportional-Regler) {#sec-p-regler} Der einfachste aller Regler ist der P-Regler, da es sich dabei um das bekannte [P-Glied](#p-glied) handelt. Wie wir wissen, wird ein P-Glied mit einem einzigen Parameter, dem Proportionalbeiwert $K_P$ beschrieben (in diesem Kontext häufig als *Reglerverstärkung* oder einfach *Verstärkung* bezeichnet). $$ y(t) = K_P \cdot e(t) $$ {#eq-p-regler} ::: {.callout-note title="Reglerverstärkung"} Der Proportionalbeiwert des Reglers (Reglerverstärkung) darf nicht mit dem Proportionalbeiwert der Strecke (Streckenverstärkung) verwechselt werden. Beide werden i. Allg. mit $K_P$ bezeichnet. Falls Verwechslungsgefahr herrscht, wird zur Unterscheidung $K_{PR}$ für den Regler sowie $K_{PS}$ für die Strecke verwendet. ::: Wir beginnen mit einer Reglerverstärkung von $K_P=0.5$ und betrachten nachfolgend die Führungssprungantwort. ![Führungssprungantwort (P-Regler mit $K_P=0.5$)](../images/diagrams/Regler_P_2.gif){#fig-pregler-wsprung1} Das anfängliche Verhalten scheint sehr gut zu sein, doch im stationären Zustand bleibt eine deutliche Regeldifferenz bestehen. Warum sich eine bleibende Regelabweichung einstellt, können wir in der folgenden Animation sehr schön sehen. Die Animation zeigt das Regelverhalten in Zeitlupentempo und man sieht schön, wie sich der stationäre Zustand allmählich einstellt. Der Sollwert kann nicht erreicht werden, da sonst die Regeldifferenz und damit die Stellgrösse null werden würden, was wiederum eine Ausgangsgrösse von null ergeben würde. Es stellt sich also ein entsprechendes Gleichgewicht[^gleichgewicht] ein. ::: {#fig-rk-ani} {{< video ../images/videos/RK_ani.mp4 controls muted playsinline type="video/mp4" >}} Blockschaltbild-Animation der obigen Führungssprungantwort ::: Um zu untersuchen, ob eine höhere Verstärkung die Situation verbessert, erhöhen wir die Verstärkung auf $K_P=1.0$. ![Führungssprungantwort (P-Regler mit $K_P=1.0$)](../images/diagrams/Regler_P_3.gif){#fig-pregler-wsprung2} Wir stellen fest, dass durch die Erhöhung der Verstärkung die bleibende Regelabweichung abnimmt, die Schwingneigung allerdings zunimmt. Die Regelung ist also *schlechter gedämpft*. Dies ist ein generelles Problem in der Regelungstechnik und begrenzt die maximal mögliche Verstärkung. Nachfolgend ist die Führungssprungantwort für eine Verstärkung $K_P=3.0$ dargestellt und man kann sich gut vorstellen, dass eine weitere Erhöhung der Verstärkung allmählich zu einer Dauerschwingung bzw. schliesslich zu *instabilem* Verhalten führt. ![Führungssprungantwort (P-Regler mit $K_P=3.0$)](../images/diagrams/Regler_P_4.gif){#fig-pregler-wsprung3} ::: {.callout-note title="P-Regler an P-Strecke"} Als Fazit können wir festhalten, dass der P-Regler ein rasches Erreichen des stationären Zustandes ermöglicht, allerdings verbleibt an einer P-Strecke immer eine bleibende Regelabweichung. Diese kann durch die Erhöhung der Verstärkung zwar verringert werden, allerdings führt dies zu einer Verschlechterung der Dämpfung. Es scheint so, als wäre der P-Regler aus den oben genannten Gründen praktisch unbrauchbar bzw. nur für sehr primitive Regelungen brauchbar. Wir werden später aber sehen, dass der P-Regler an I-Strecken zu sehr gutem Verhalten führen kann. ::: #### Störsprungantwort {.unnumbered} Um den Einfluss von Störungen zu untersuchen, simulieren wir entsprechende Störsprungantworten. Wir setzen dabei $w=0$ und leiten ein Sprungsignal am Störeingang $z_1$ oder $z_2$ ein. Die Störsprungantwort zeigt uns, welchen Einfluss eine Störung auf das Regelverhalten hat. Im Idealfall geht die Störsprungantwort möglichst rasch gegen 0 (was bedeutet, dass die Störung vollständig ausgeregelt wird). ![Störsprungantwort für $z_2$ (P-Regler mit $K_P=1.0$)](../images/diagrams/Regler_P_3_z2.gif){#fig-pregler-zsprung} Wir stellen fest, dass der P-Regler die Störung $z_2$ nicht vollständig ausregeln kann und es auch hier (nicht überraschend) zu einer bleibenden Regeldifferenz kommt. Wir verzichten hier auf die Störgrösse $z_1$, da qualitativ dasselbe Verhalten resultiert (der Einfluss von $z_1$ ist allerdings deutlich grösser, da sie noch von der Strecke verstärkt wird). #### Führungsrampenantwort {.unnumbered} Abschliessend wollen wir wieder die Führungsgrösse vorgeben, aber diesmal rampenförmig hochfahren (wir sprechen von einer Führungsrampe). Damit können wir das Führungsverhalten einer Folgeregelung beurteilen. Als Beispiel einer Folgeregelung kann man sich z. B. eine Drehzahl- bzw. Geschwindigkeitsregelung eines Elektromotors vorstellen, bei der ein bestimmtes Geschwindigkeitsprofil abgefahren werden soll. Dabei wird der Sollwert (gemäss Geschwindigkeitsprofil) i. Allg. dauernd verändert. ![Führungsrampenantwort (P-Regler mit $K_P=1.0$)](../images/diagrams/Regler_P_3_ramp.gif){#fig-pregler-wrampe} Wir stellen fest, dass die Regeldifferenz beim rampenförmigen Sollwertverlauf sogar immer grösser wird, d. h. ein P-Regler wäre für eine Folgeregelung an einer P-Strecke ungeeignet. Das Grundproblem des P-Reglers ist, dass nur eine Stellgrösse erzeugt wird, wenn die Regeldifferenz ungleich 0 ist. Das bedeutet, dass der Sollwert nie ganz erreicht werden kann. Um die Situation zu verbessern, bräuchten wir einen Regler, der eine Ausgangsgrösse erzeugt, wenn der Eingang gleich 0 ist bzw. bei einer konstanten Eingangsgrösse eine ansteigende Ausgangsgrösse erzeugt. **Fällt dir ein Übertragungsglied ein, das diese Eigenschaften aufweist?** ### I-Regler (Integral-Regler) {#sec-i-regler} Im Gegensatz zum P-Glied kann ein [I-Glied](#i-glied) auch einen Wert ausgeben, wenn der Eingang gleich 0 ist. Das I-Glied integriert das Eingangssignal, d. h. wenn 0 am Eingang anliegt, ändert sich das Integral nicht mehr und der Wert des Integrals (Ausgangsgrösse) bleibt konstant. Bei einer konstanten Eingangsgrösse nimmt die Ausgangsgrösse stetig zu, wie wir das von der Sprungantwort des I-Gliedes kennen. Verwenden wir das I-Glied als Regler, so sprechen wir vom I-Regler. Beschrieben wird dieser mit dem bekannten Integrierbeiwert $K_I$, den wir wiederum auch als *Reglerverstärkung* oder einfach *Verstärkung* bezeichnen. $$ y(t) = K_I \cdot \int e(t) \, \mathrm{d}t $$ {#eq-i-regler} ![Führungssprungantwort (I-Regler mit $K_I=0.008$)](../images/diagrams/Regler_I_1.gif){#fig-iregler-wsprung1} Wir sehen, dass der I-Regler tatsächlich zu keiner bleibenden Abweichung führt, d. h. eine *genaue* Regelung ermöglicht. Leider dauert es sehr lange bis der Sollwert erreicht wird, d. h. wir versuchen die Schnelligkeit durch die Verdopplung der Verstärkung zu verbessern. ![Führungssprungantwort (I-Regler mit $K_I=0.016$)](../images/diagrams/Regler_I_2.gif){#fig-iregler-wsprung2} Die Schnelligkeit konnte durch eine grössere Verstärkung tatsächlich erhöht werden, es dauert jedoch immer noch relativ lange. Die Schwingneigung hat ebenfalls zugenommen (= geringere Dämpfung), d. h. eine weitere Erhöhung der Verstärkung ist wiederum problematisch. ::: {.callout-note title="I-Regler"} Als Fazit können wir festhalten, dass der I-Regler zum Verschwinden der Regelabweichung führt, d. h. die Regelung ist *genau*. Allerdings ist die Regelung mit dem I-Regler *langsam*. Der (reine) I-Regler wird in der Praxis (ausser in seltenen Spezialfällen) praktisch nicht eingesetzt, da der nachfolgend besprochene PI-Regler in jeder Hinsicht überlegen ist. ::: ### PI-Regler (Proportional-Integral-Regler) {#sec-pi-regler} Nachdem wir die Vor- und Nachteile des P- bzw. des I-Reglers kennengelernt haben, stellt sich die Frage, ob die positiven Eigenschaften der beiden Regler vereint werden können. - P-Regler: schnell, aber ungenau - I-Regler: langsam, aber genau Dies führt uns zum PI-Regler, der als Parallelschaltung[^parallelschaltung] von P- und I-Regler verstanden werden kann. ![Struktur des PI-Reglers](../images/diagrams/BSB_PI.svg){#fig-pi-bsb} Die obige Struktur bzw. das Blockschaltbild des PI-Reglers (vgl. @fig-pi-bsb) ist mathematisch eine Addition und lässt sich folgendermassen formulieren: $$ \begin{aligned} y(t) &= y_P(t) + y_I(t) \\ &= K_P \cdot \left( e(t) + \frac{1}{T_i} \cdot \int{e(t) \, \mathrm{d}t} \right) \end{aligned} $$ {#eq-pi-regler} Neben dem Proportionalbeiwert $K_P$ (Verstärkung) wird zur Beschreibung des PI-Reglers die *Nachstellzeit* $T_i$ verwendet[^nachstellzeit]. Die oben gezeigte Addition von P- und I-Anteil lässt sich in der Sprungantwort des PI-Reglers sehr schön erkennen und ebenfalls ist darin die Wirkung von $K_P$ bzw. $T_i$ zu sehen. ![Sprungantwort des PI-Reglers](../images/diagrams/PI-Glied.svg){#fig-pi-sprungantwort} Durch diese Überlagerung von P- und I-Anteil ist der PI-Regler in der Lage die wichtigen Anforderungen *Schnelligkeit* (durch P-Regler) und *Genauigkeit* (durch I-Regler) zu erfüllen. ![Führungssprungantwort (PI-Regler mit $K_P=0.16$ und $T_i=3\,\mathrm{s}$)](../images/diagrams/Regler_PI_1.gif){#fig-piregler-wsprung1} Damit kann im Vergleich zum (reinen) P- bzw. I-Regler ein deutlich besseres Verhalten erreicht werden. Wiederum kann mit der Erhöhung der Verstärkung ein Überschwingen und damit eine noch schnellere Regelung erzielt werden. ![Führungssprungantwort (PI-Regler mit $K_P=0.45$ und $T_i=3\,\mathrm{s}$)](../images/diagrams/Regler_PI_2.gif){#fig-piregler-wsprung2} ::: {.callout-note title="PI-Regler"} Der PI-Regler vereint die positiven Eigenschaften des P- und I-Reglers, d. h. ermöglicht i. Allg. eine *schnelle* und *genaue* Regelung. In vielen Branchen (Verfahrenstechnik, Lebensmittelindustrie, Öl- und Gasindustrie, Gebäudetechnik etc.) ist der PI-Regler der Standardregler. ::: #### Störsprungantwort {.unnumbered} Betrachten wir wieder das Störverhalten, so stellen wir fest, dass nun auch die Störgrössen komplett ausgeregelt werden (analog für $z_1$). ![Störsprungantwort für $z_2$ (PI-Regler mit $K_P=0.45$ und $T_i=3\,\mathrm{s}$)](../images/diagrams/Regler_PI_2_z2.gif){#fig-piregler-zsprung} #### Führungsrampenantwort {.unnumbered} Um das Folgeverhalten zu beurteilen, betrachten wir abschliessend noch die Führungsrampenantwort. Wir stellen fest, dass zwar eine Regelabweichung auftritt, diese bleibt aber konstant (nicht wie beim P-Regler, wo diese immer grösser wird). Eine solche Abweichung wird als *Schleppfehler* bezeichnet. ![Führungsrampenantwort (PI-Regler mit $K_P=0.45$ und $T_i=3\,\mathrm{s}$)](../images/diagrams/Regler_PI_2_ramp.gif){#fig-piregler-wrampe} ### PID-Regler (Proportional-Integral-Differential-Regler) {#sec-pid-regler} Erweitert man den PI-Regler um einen weiteren parallelen Zweig mit einem D-Anteil (*Differential*- oder kurz D-Glied), so resultiert der äusserst populäre PID-Regler. ![Struktur des PID-Reglers](../images/diagrams/BSB_PID.svg){#fig-pid-bsb} Die obige Struktur bzw. das Blockschaltbild des PID-Reglers (vgl. @fig-pid-bsb) lässt sich mathematisch folgendermassen formulieren: $$ \begin{aligned} y(t) &= y_P(t) + y_I(t) + y_D(t) \\ &= K_P \cdot \left( e(t) + \frac{1}{T_i} \cdot \int{e(t) \, \mathrm{d}t} + T_d \cdot \dot{e}(t) \right) \end{aligned} $$ {#eq-pid-regler} Um die Sprungantwort des PID-Reglers zu verstehen, betrachten wir die nachfolgende Visualisierung. Die Sprungantwort des PID-Reglers lässt sich in die drei Anteile P, I und D zerlegen. ![Visualisierung zur Sprungantwort des PID-Reglers](../images/diagrams/Visualization_PID.svg){#fig-pid-visualization} Neben dem Proportionalbeiwert $K_P$ (Verstärkung) und der Nachstellzeit $T_i$ (I-Anteil) kommt nun eine dritte Kenngrösse, nämlich die *Vorhaltezeit* $T_d$ hinzu. Der D-Anteil lässt sich in der Sprungantwort des PID-Reglers durch einen (theoretisch unendlich hohen) Impuls erkennen. ![Sprungantwort des idealen PID-Reglers](../images/diagrams/PID-Glied.svg){#fig-pid-sprungantwort} Die obige Variante des PID-Reglers ist in der Praxis nicht brauchbar/realisierbar, wir sprechen daher vom *idealen* PID-Regler. Dieser würde folgende Probleme mit sich bringen: - Der *ideale* D-Anteil (Ableitung) würde zu sehr hohen Stellgrössen führen. In der Realität kann eine Stellgrösse nicht beliebig grosse Werte einnehmen und wäre daher rasch in der Begrenzung (Anschlag). - Das zurückgeführte Signal stammt von einem Messglied/Sensor und ist somit immer mit Rauschen behaftet. Der *ideale* D-Anteil würde auch minimales Rauschen stark verstärken, was sich äusserst negativ auf das Regelverhalten auswirken würde. In der Praxis wird der D-Anteil daher mit einer kleinen Verzögerung $T_{\mathrm{Vz}}$ implementiert (Reihenschaltung von D- und P-T~1~-Glied, d. h. als D-T~1~-Glied) und man spricht vom *realen* PID-Regler bzw. dem PID-T~1~-Regler. Man kann sich das als *Filterung* vorstellen, sodass hohe Frequenzen nicht beliebig verstärkt werden. ![Sprungantwort des realen PID-Reglers](../images/diagrams/PID-T1-Glied.svg){#fig-pid-t1-sprungantwort} Der D-Anteil sorgt dafür, dass der Regler spezifisch auf die *Änderungsgeschwindigkeit* der Regeldifferenz reagieren kann. Man kann sich den D-Anteil als eine Art "Blick in die Zukunft" vorstellen, da er auf die Ableitung (Steigung) der Regeldifferenz reagiert und damit die Stellgrösse "vorausschauend" verstellt. Dadurch kann i. Allg. das Überschwingen verringert werden, d. h. die Dämpfung/Stabilität erhöht werden. Mit dem PID-Regler haben wir einen sehr flexiblen und äusserst mächtigen Regler, der für viele Anwendungen ein sehr gutes Regelverhalten ermöglicht und trotzdem durch eine vergleichsweise einfache Struktur bzw. Parametrierung besticht. Aus diesen Gründen ist er als Standardregler allgegenwärtig in der Industrie. ![Führungssprungantwort (PID-Regler mit $K_P=1.3$, $T_i=3\,\mathrm{s}$ und $T_d=0.5\,\mathrm{s}$)](../images/diagrams/Regler_PID_1.gif){#fig-pidregler-wsprung} ::: {.callout-note title="PID-Regler"} Durch die Vereinigung von P-, I- und D-Anteil im Regler ist generell eine *schnelle*, *genaue* und gut *gedämpfte* Regelung realisierbar. Der P-Anteil reagiert auf die aktuelle Regelabweichung, der I-Anteil auf die integrierte Regelabweichung (*Vergangenheit*) und der D-Anteil auf die Änderung der Regelabweichung (*Zukunft*). Der PID-Regler gilt als Standardregler in vielen Industriezweigen (z. B. Robotik, Automobiltechnik, Luft- und Raumfahrt etc.), in denen generell dynamische Prozesse geregelt werden müssen. ::: ### PD-Regler (Proportional-Differential-Regler) {#sec-pd-regler} Entfernt man den I-Anteil des PID-Reglers (vgl. @fig-pid-bsb), so resultiert der PD-Regler. Dieser kommt zum Einsatz, wenn z. B. in der Regelstrecke bereits ein I-Anteil enthalten ist und im Regler keiner mehr nötig ist. Mathematisch lässt sich der PD-Regler folgendermassen formulieren: $$ \begin{aligned} y(t) &= y_P(t) + y_D(t) \\ &= K_P \cdot \left( e(t) + T_d \cdot \dot{e}(t) \right) \end{aligned} $$ {#eq-pd-regler} Die Sprungantwort sollte mit dem aktuellen Wissen zu keiner Überraschung mehr führen. Nachfolgend ist die Sprungantwort des *realen* PD-Reglers gezeigt, d. h. mit der zusätzlichen Verzögerung $T_{\mathrm{Vz}}$. ![Sprungantwort des realen PD-Reglers](../images/diagrams/PD-T1-Glied.svg){#fig-pd-t1-sprungantwort} Da der PD-Regler keinen I-Anteil aufweist, würde er an der obigen P-T~3~-Strecke (wie der P-Regler) eine bleibende Regelabweichung produzieren. Die Dynamik könnte allerdings verbessert werden (Schnelligkeit, Dämpfung). Um die Vorteile des PD-Reglers deutlich sichtbar zu machen, betrachten wir im Folgenden eine I-T~2~-Strecke, d. h. eine Strecke, die selber bereits einen I-Anteil enthält. Als Streckenparameter verwenden wir $K_I = 0.2$ sowie $T_1 = 2\,\mathrm{s}$ und $T_2 = 0.5\,\mathrm{s}$. Wir beginnen wieder mit dem einfachen P-Regler und werden feststellen, dass dieser an einer I-Strecke keine bleibende Regelabweichung aufweist - da in der Strecke ein I-Anteil vorhanden ist. ![Führungssprungantwort (P-Regler mit $K_P=1$ an I-Strecke)](../images/diagrams/Regler_P_I-S_1.gif){#fig-pregler-istrecke-wsprung1} Wir verdoppeln die Verstärkung und beobachten wiederum, dass die Schwingneigung deutlich zunimmt. Eine weitere Erhöhung der Verstärkung des P-Reglers ist daher nicht zu empfehlen. ![Führungssprungantwort (P-Regler mit $K_P=2$ an I-Strecke)](../images/diagrams/Regler_P_I-S_2.gif){#fig-pregler-istrecke-wsprung2} Verwenden wir anstelle des P-Reglers nun einen PD-Regler, so sieht die Situation deutlich anders aus. Der D-Anteil greift im entscheidenden Moment stark ein und verringert dadurch die Regelabweichung ziemlich rasch. Der P-Anteil "muss" sich dann "nur" noch um die verbleibende Regelabweichung kümmern (und ein Überreagieren bzw. Überschwingen wird dadurch reduziert). Damit ist wiederum eine höhere Verstärkung möglich. ![Führungssprungantwort (PD-Regler mit $K_P=3$ und $T_d=2\,\mathrm{s}$ an I-Strecke)](../images/diagrams/Regler_PD_I-S_1.gif){#fig-pdregler-istrecke-wsprung} ::: {.callout-note title="P-/PD-Regler an I-Strecke"} An I-Strecken wird kein I-Anteil im Regler benötigt, um stationäre Genauigkeit zu erreichen, da bereits ein I-Anteil in der Strecke enthalten ist. Daher sind P-Regler bzw. PD-Regler für solche Strecken gut geeignet, wobei der PD-Regler vorteilhaft ist in Bezug auf die *Schnelligkeit* und *Dämpfung*. ::: #### Störgrössensprung Um abschliessend das Störverhalten des P/PD-Reglers an einer I-Strecke zu beurteilen, prägen wir wiederum einen Störgrössensprung am Eingang $z_2$ (nach der Regelstrecke) auf und betrachten das Regelverhalten. ![Störsprungantwort $z_2$ (PD-Regler mit $K_P=3$ und $T_d=2\,\mathrm{s}$ an I-Strecke)](../images/diagrams/Regler_PD_I-S_1_z2.gif){#fig-pdregler-istrecke-z2sprung} Eine Störung am Regelstreckenausgang ($z_2$) kann vom P/PD-Regler an einer I-Strecke komplett ausgeregelt werden (vgl. obige Abb.), eine Störung am Streckeneingang ($z_1$) allerdings nicht (vgl. nachfolgende Abb.), da wir zu deren Kompensation wiederum eine Stellgrösse benötigen würden bei einer Regeldifferenz von 0. ![Störsprungantwort $z_1$ (PD-Regler mit $K_P=3$ und $T_d=2\,\mathrm{s}$ an I-Strecke)](../images/diagrams/Regler_PD_I-S_1_z1.gif){#fig-pdregler-istrecke-z1sprung} ## Zusammenfassung Die folgende Tabelle fasst die Erkenntnisse in Bezug auf die bleibende Regelabweichung kompakt zusammen. Je nachdem, ob wir einen I-Anteil im Regler (1. Spalte) bzw. in der Strecke (2. Spalte) haben, ergibt sich eine bleibende Regelabweichung bei einem Führungssprung (3. Spalte) bzw. einer Führungsrampe (4. Spalte) und bei Störgrössen am Streckeneingang (5. Spalte) bzw. Streckenausgang (6. Spalte). | Reglertyp | Streckentyp | Regeldifferenz bei Sprung $w$ | Regeldifferenz bei Rampe $w$ | Regeldifferenz bei Sprung $z_1$ | Regeldifferenz bei Sprung $z_2$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | P/PD | P | $\dfrac{\Delta w}{1 + K_{PR} \cdot K_{PS}}$ | $\infty$ | $\dfrac{K_{PS} \cdot \Delta z_1}{1 + K_{PR} \cdot K_{PS}}$ | $\dfrac{\Delta z_2}{1 + K_{PR} \cdot K_{PS}}$ | | PI/PID | P | $0$ | $\dfrac{\Delta w}{\left(\dfrac{K_{PR}}{T_i}\right) \cdot K_{PS}}$ | $0$ | $0$ | | P/PD | I | $0$ | $\dfrac{\Delta w}{K_{PR} \cdot K_{IS}}$ | $\dfrac{\Delta z_1}{K_{PR}}$ | $0$ | | PI/PID | I | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | --- Im folgenden Video können wir nochmals die qualitativen Einflüsse des P-, I- und D-Anteils im Regler sehr schön erkennen. ::: {#fig-pid} {{< video https://www.youtube.com/watch?v=fusr9eTceEo start="16" >}} Gregory L. Holst, Hardware Demo of a Digital PID Controller [Quelle](https://www.youtube.com/watch?v=fusr9eTceEo) ::: ## Aufgaben {.unnumbered} <button class="pdf-export" data-target="aufgaben5" data-filename="SYS_RE1_AUFG05.pdf" aria-label="Aufgaben als PDF speichern" title="Aufgaben als PDF speichern"> <img src="/images/icons/file-pdf.svg" alt="PDF herunterladen" width="24" height="24"> </button> :::: {#aufgaben5} ::: {.callout-tip collapse="true" #ex-5-1} ### Aufgabe 5.1 Um den Umgang mit Boris zu üben, sollen die obigen Simulationen reproduziert werden. Spiele dabei mit den Reglerparametern und beobachte die Auswirkungen auf das Regelverhalten. :::: {.callout-important collapse="true"} ### Lösung Für Führungssprungantwort werden Störgrössen auf 0 gesetzt und für Störgrössensprung wird Führungsgrösse (und andere Störgrösse) auf 0 gesetzt. Für eine Führungsrampe wird im Funktionsgenerator von Puls auf Funktion (im Eingabefeld $t$ eingeben) umgestellt (oder alternativ Puls mit Anstiegszeit TR). Bsp.: Führungssprungantwort PI an P-Strecke (analog für P/PID-Regler etc.): ![](../images/diagrams/A5_1_P_BSB.png){fig-align="center"} ![](../images/diagrams/A5_1_P_Diagramm.png){fig-align="center"} Bsp.: Führungssprungantwort PD an I-Strecke (analog für P-Regler etc.): ![](../images/diagrams/A5_1_I_BSB.png){fig-align="center"} ![](../images/diagrams/A5_1_I_Diagramm.png){fig-align="center"} :::: ::: ::: {.callout-tip collapse="true" #ex-5-2} ### Aufgabe 5.2 Simuliere die Führungssprungantwort eines Regelkreises mit einem PI-Regler und einer P-T~2~-Strecke. Die Streckenparameter sind: $$ K_P=2.75 \quad T_1=2.4\,\mathrm{s} \quad \text{und} \quad T_2=0.8\,\mathrm{s} $$ Für den PI-Regler soll $T_i = T_1$ verwendet werden und die Verstärkung so eingestellt werden, dass ein Überschwingen von ca. 10% des Sollwertes erreicht wird. Stelle die Simulationsdauer auf 20 s ein. Menu *Messung → Aktivieren* im Zeitverlaufsdiagramm ermöglicht das genaue Ablesen von Werten. Mit der Maus kann man die Messpunkte verschieben und so die Werte an der gewünschten Stelle ablesen. :::: {.callout-important collapse="true"} ### Lösung Mit $K_P = 0.75$ erreichen wir ein Überschwingen von ca. 10%. ![](../images/diagrams/A5_2_BSB.png){fig-align="center"} ![](../images/diagrams/A5_2_Diagramm.png){fig-align="center"} :::: ::: ::: {.callout-tip collapse="true" #ex-5-3} ### Aufgabe 5.3 Eine I-T~1~-Strecke mit $T_I=0.5\,\mathrm{s}$ und $T_1=0.75\,\mathrm{s}$ soll mit einem P-Regler geregelt werden. Zwischen dem I-Glied und dem P-T~1~-Glied (Reminder: Ein I-T~1~ ist eine Reihenschaltung von I und P-T~1~) greift eine Störgrösse $z$ ein. Stelle die Verstärkung des P-Reglers so ein, dass die Regelabweichung bei der Störsprungantwort spätestens nach 2.5 s auf +/- 0.1 abgesunken ist. Simuliere anschliessen die Führungssprungantwort und lese das Überschwingen ab (in % des Sollwertes). Mit dem Block *Verknüpfer* (Palette *Funktion*) kann die Störgrösse $z$ zwischen I-Glied und P-T~1~-Glied eingeleitet werden. Die Störgrössensprung selbst wird mit dem Funktionsgenerator erzeugt (analog zur Führungsgrösse). :::: {.callout-important collapse="true"} ### Lösung **Störsprungantwort** Mit $K_P = 0.75$ ist die Störsprungantwort für $t > 2.5\,\mathrm{s}$ nie mehr ausserhalb des +/-0.1-Bandes. ![](../images/diagrams/A5_3_zSprung_BSB.png){fig-align="center"} ![](../images/diagrams/A5_3_zSprung_Diagramm.png){fig-align="center"} **Führungssprungantwort** ![](../images/diagrams/A5_3_wSprung_BSB.png){fig-align="center"} ![](../images/diagrams/A5_3_wSprung_Diagramm.png){fig-align="center"} Damit resultiert ein Überschwingen von ca. 20%. :::: ::: :::: [^superposition]: Wir könnten problemlos auch gleichzeitig einen Führungssprung und einen Störsprung simulieren, doch würde man dann den Einfluss des Führungssprungs und des Störsprungs nicht ohne Weiteres unterscheiden können. Wir werden später noch genauer sehen, dass aufgrund der Linearität (Superpositionsprinzip) die beiden Sprungantworten einfach überlagert werden, d. h. immer einzeln simuliert werden können. [^einheitssprung]: Sofern nichts anderes gefordert wird, verwenden wir jeweils den Einheitssprung ($\Delta w=1$ bzw. $\Delta z_{1,2}=1$) als Eingangssignal. [^unstetig]: Wir werden später auch eine andere Klasse von Reglern kennenlernen: Die *unstetigen* Regler. Diese weisen nur diskrete Ausgangswerte auf, z. B. ON/OFF bzw. 0/24 V. [^gleichgewicht]: Der Gleichgewichtszustand kann in diesem Fall ziemlich einfach bestimmt werden, indem die statischen Zusammenhänge betrachtet werden: $$ \begin{aligned} e &= w - x \\ y &= K_{PR} \cdot e = K_{PR} \cdot (w - x)\\ x &= K_{PS} \cdot y = K_{PS} \cdot K_{PR} \cdot (w - x) \end{aligned} $$ ... und dann nach $x$ aufgelöst wird: $$ \begin{aligned} x &= \frac{K_{PS} \cdot K_{PR}}{1 + K_{PS} \cdot K_{PR}}\\ &= \frac{0.5 \cdot 10}{1 + 0.5 \cdot 10} = \frac{5}{6} = 0.83 \end{aligned} $$ [^parallelschaltung]: Die Verstärkung $K_P$ ist dabei vor dem Verzweigungspunkt angeordnet, d. h. wirkt sich auf beide Zweige (P und I) aus. In der Reglergleichung zeigt sich dies darin, dass der Proportionalbeiwert $K_P$ vor der Klammer steht. Der Vorteil dieser Struktur ist, dass die relativen Anteile (P und I) zueinander gleich bleiben, wenn die Verstärkung verändert wird. [^nachstellzeit]: Die Nachstellzeit $T_i$ (kleines i) ist nicht zu verwechseln mit der Integrierzeit $T_I$ (grosses I) eines I-Gliedes. Die Nachstellzeit $T_i$ bezieht sich immer auf einen PI/PID-Regler.