Anhang B — Grundglieder

B.1 Gliederung der Regelstrecken

mit Ausgleich		ohne Ausgleich
ohne Verzögerung	mit Verzögerung	ohne Verzögerung	mit Verzögerung
P	P-T1	I	I-T1
	P-T2 bzw. P-T2S		I-T2 bzw. I-T2S
	P-Tn		I-Tn
	P-Tt		I-Tt

Tab. B.1: Gliederung

B.2 Grundglieder

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B.2.1 Glieder mit Ausgleich (P-Glieder)

HinweisReminder

P-Glieder weisen einen Beharrungszustand (stationären Zustand) auf, d. h. der Ausgang strebt für einen konstanten Eingang einen stationären Endwert an. Die Beziehung zwischen Ausgang und Eingang im Beharrungszustand wird durch die (statische) Kennlinie bzw. den Proportionalbeiwert K_P beschrieben.

P

x_a(t) = K_P \cdot x_e(t)

---

P-T₁

\begin{aligned} T_1 \cdot \dot{x}_a(t) + x_a(t) \\ = K_P \cdot x_e(t) \end{aligned}

---

P-T₂

\begin{aligned} T_1 \cdot T_2 \cdot \ddot{x}_a(t) \\ + (T_1+T_2) \cdot \dot{x}_a(t) \\ + x_a(t) \\ = K_P \cdot x_e(t) \end{aligned}

---

P-T_2S

\begin{aligned} \frac{1}{\omega_0^2} \cdot \ddot{x}_a(t) \\ + 2 \cdot \frac{D}{\omega_0} \cdot \dot{x}_a(t) \\ + x_a(t) \\ = K_P \cdot x_e(t) \end{aligned}

---

P-T_n

\ldots

---

P-T_t

x_a(t) = K_P \cdot x_e(t - T_t)

B.2.1.1 Interaktive Sprungantwort

Ändere die Parameter im untenstehenden Sprungantwort-Simulator und betrachte den Effekt auf die Sprungantwort. Die Sprungantwort wird jeweils für einen Einheitssprung am Eingang und K_P = 1 angezeigt. Für K_P gibt es keinen Slider, dieser würde lediglich die Höhe der Sprungantwort verändern.

isChromium = /\bChrome\b|\bEdg\b/.test(navigator.userAgent);
typeSelect = html`<select style="width:100%;padding:6px;font-size:15px;border:1px solid #ccc;border-radius:4px;">
  <option value="ns">nicht schwingfähig</option>
  <option value="os">schwingfähig</option>
</select>`
systemType = Generators.input(typeSelect)
_label1 = html`<span></span>`
_label2 = html`<span></span>`
_label3 = html`<span></span>`
_s1 = html`<input type="range" min="0" max="200" step="1" value="100" style="width:100%;">`
_s2 = html`<input type="range" min="0" max="200" step="1" value="100" style="width:100%;">`
_s3 = html`<input type="range" min="0" max="200" step="1" value="0" style="width:100%;">`
function updateLabels() {
  var s1 = _s1.valueAsNumber, s2 = _s2.valueAsNumber, s3 = _s3.valueAsNumber;
  var t1 = s1 / 100 * 2, t2 = s2 / 100 * 2, w = 1 + s1 / 200 * 4, d = s2 / 200, tt = s3 / 100 * 2;
  _label1.innerHTML = typeSelect.value === "os" ? `ω₀: ${w.toFixed(2)} rad/s` : `T₁: ${t1.toFixed(2)} s`;
  _label2.innerHTML = typeSelect.value === "os" ? `D: ${d.toFixed(2)}` : `T₂: ${t2.toFixed(2)} s`;
  _label3.innerHTML = `T<sub>t</sub>: ${tt.toFixed(2)} s`;
}
function makeSlider(slider) {
  return Generators.observe(function(change) {
    var last = slider.valueAsNumber;
    function inputted() { last = slider.valueAsNumber; updateLabels(); if (!isChromium) change(last); }
    function released() { change(last); }
    slider.addEventListener("input", inputted);
    slider.addEventListener("change", released);
    change(last);
    return function() { slider.removeEventListener("input", inputted); slider.removeEventListener("change", released); };
  });
}
s1Val = makeSlider(_s1);
s2Val = makeSlider(_s2);
s3Val = makeSlider(_s3);
_ = (updateLabels(), typeSelect.addEventListener("change", updateLabels));
T1 = s1Val / 100 * 2
T2 = s2Val / 100 * 2
omega = 1 + s1Val / 200 * 4
Damp = s2Val / 200
Tt = s3Val / 100 * 2
html`
<div style="padding:0.25em;font-family:sans-serif;">
  <div style="margin-bottom:0.75em;">
    ${typeSelect}
  </div>
  <div style="margin-bottom:0.75em;">
    <label style="display:block;font-size:14px;margin-bottom:2px;">${_label1}</label>
    ${_s1}
  </div>
  <div style="margin-bottom:0.75em;">
    <label style="display:block;font-size:14px;margin-bottom:2px;">${_label2}</label>
    ${_s2}
  </div>
  <div style="margin-bottom:0.75em;">
    <label style="display:block;font-size:14px;margin-bottom:2px;">${_label3}</label>
    ${_s3}
  </div>
</div>`

stepData = {
  const K = 1;
  const dt = 0.01;
  const tMax = 10;
  const data = [];

  for (let t = 0; t <= tMax + Tt; t += dt) {
    let y = 0;

    if (t >= Tt) {
      const tau = t - Tt;

      if (systemType === "ns") {
        if (Math.abs(T1 - T2) < 1e-6 && T1 > 1e-6) {
          y = K * (1 - (1 + tau / T1) * Math.exp(-tau / T1));
        } else if (T1 > 1e-6 && T2 > 1e-6) {
          const a = T1 / (T1 - T2);
          const b = T2 / (T1 - T2);
          y = K * (1 - a * Math.exp(-tau / T1) + b * Math.exp(-tau / T2));
        } else if (T1 > 1e-6) {
          y = K * (1 - Math.exp(-tau / T1));
        } else if (T2 > 1e-6) {
          y = K * (1 - Math.exp(-tau / T2));
        } else {
          y = K;
        }
      } else if (systemType === "os") {
        const w = omega;
        const d = Damp;
        if (d < 1) {
          const wd = w * Math.sqrt(1 - d * d);
          const phi = Math.acos(d);
          y = K * (1 - Math.exp(-d * w * tau) / Math.sqrt(1 - d * d) * Math.sin(wd * tau + phi));
        } else {
          y = K * (1 - (1 + w * tau) * Math.exp(-w * tau));
        }
      }
    }

    if (t <= tMax) {
      data.push({t, y});
    }
  }

  return data;
}

Plot.plot({
  height: 400,
  marginLeft: 60,
  marginBottom: 50,
  grid: true,
  style: {background: "transparent", color: "#333", fontSize: "14px"},
  x: {label: "Zeit [s]", domain: [0, 10]},
  y: {domain: [0, 2], label: null},
  marks: [
    Plot.lineY(stepData || [], {x: "t", y: "y", stroke: "#e74c3c", strokeWidth: 2.5}),
    Plot.ruleY([1], {stroke: "#888", strokeDasharray: "4 4"}),
  ]
})

B.2.2 Glieder ohne Ausgleich (I-Glieder)

HinweisReminder

I-Glieder weisen keinen Beharrungszustand (keinen stationären Zustand) auf, d. h. es gibt keine (statische) Kennlinie und damit keinen Proportionalbeiwert K_P​.

I-Glieder beschreiben wir mit dem Integrierbeiwert K_I​ bzw. alternativ mit der Integrierzeit T_I, wobei die eine Grösse die Inverse der andern ist (K_I=1/T_I​).

I

\dot{x}_a(t) = K_I \cdot x_e(t)

---

I-T₁

\begin{aligned} T_1 \cdot \ddot{x}_a(t) \\ + \dot{x}_a(t) \\ = K_I \cdot x_e(t) \end{aligned}

---

\ldots

\ldots

\ldots

---

I-T_t

\begin{aligned} \dot{x}_a(t) \\ = K_I \cdot x_e(t - T_t) \end{aligned}

B.2.2.1 Interaktive Sprungantwort

Ändere die Parameter im untenstehenden Sprungantwort-Simulator und betrachte den Effekt auf die Sprungantwort. Die Sprungantwort wird jeweils für einen Einheitssprung am Eingang angezeigt.

_label1b = html`<span></span>`
_label2b = html`<span></span>`
_label3b = html`<span></span>`
_s1b = html`<input type="range" min="0" max="200" step="1" value="50" style="width:100%;">`
_s2b = html`<input type="range" min="0" max="200" step="1" value="0" style="width:100%;">`
_s3b = html`<input type="range" min="0" max="200" step="1" value="0" style="width:100%;">`
function updateLabelsB() {
  var s1 = _s1b.valueAsNumber, s2 = _s2b.valueAsNumber, s3 = _s3b.valueAsNumber;
  var ki = s1 / 200 * 2, t1 = s2 / 200 * 4, tt = s3 / 200 * 4;
  _label1b.innerHTML = `K<sub>I</sub>: ${ki.toFixed(3)}`;
  _label2b.innerHTML = `T₁: ${t1.toFixed(2)} s`;
  _label3b.innerHTML = `T<sub>t</sub>: ${tt.toFixed(2)} s`;
}
function makeSliderB(slider) {
  return Generators.observe(function(change) {
    var last = slider.valueAsNumber;
    function inputted() { last = slider.valueAsNumber; updateLabelsB(); if (!isChromium) change(last); }
    function released() { change(last); }
    slider.addEventListener("input", inputted);
    slider.addEventListener("change", released);
    change(last);
    return function() { slider.removeEventListener("input", inputted); slider.removeEventListener("change", released); };
  });
}
s1ValB = makeSliderB(_s1b);
s2ValB = makeSliderB(_s2b);
s3ValB = makeSliderB(_s3b);
KIval = s1ValB / 200 * 2
T1val = s2ValB / 200 * 4
Ttval = s3ValB / 200 * 4
__initB = updateLabelsB();
html`
<div style="padding:0.25em;font-family:sans-serif;">
  <div style="margin-bottom:0.75em;">
    <label style="display:block;font-size:14px;margin-bottom:2px;">${_label1b}</label>
    ${_s1b}
  </div>
  <div style="margin-bottom:0.75em;">
    <label style="display:block;font-size:14px;margin-bottom:2px;">${_label2b}</label>
    ${_s2b}
  </div>
  <div style="margin-bottom:0.75em;">
    <label style="display:block;font-size:14px;margin-bottom:2px;">${_label3b}</label>
    ${_s3b}
  </div>
</div>`

stepData2 = {
  const dt = 0.01;
  const tMax = 10;
  const data = [];

  for (let t = 0; t <= tMax + Ttval; t += dt) {
    let y = 0;

    if (t >= Ttval) {
      const tau = t - Ttval;

      if (T1val > 1e-6) {
        y = KIval * (tau - T1val + T1val * Math.exp(-tau / T1val));
      } else {
        y = KIval * tau;
      }
    }

    if (t <= tMax) {
      data.push({t, y});
    }
  }

  return data;
}

Plot.plot({
  height: 400,
  marginLeft: 60,
  marginBottom: 50,
  grid: true,
  style: {background: "transparent", color: "#333", fontSize: "14px"},
  x: {label: "Zeit [s]", domain: [0, 10]},
  y: {domain: [0, 10], label: null},
  marks: [
    Plot.lineY(stepData2 || [], {x: "t", y: "y", stroke: "#e74c3c", strokeWidth: 2.5}),
    Plot.ruleX([0], {stroke: "#888"}),
  ]
})

B.2.3 D-Glieder

Neben dem P-Glied (proportional), dem I-Glied (integrierend) kommt in Reglern auch das D-Glied (differenzierend) zur Anwendung.

HinweisD-Glieder

D-Glieder wirken differenzierend (daher der Name), d. h. sie wirken auf die Ableitung des Eingangssignals (d. h. für eine konstante Eingangsgrösse ist die Ausgangsgrösse null).

D-Glieder werden mit dem Differenzierbeiwert K_D​ bzw. alternativ mit der Differenzierzeit T_D beschrieben, wobei K_D = T_D gilt.

Das ideale D-Glied existiert in der Praxis nicht, d. h. ein reales D-Glied wird immer mit einer zusätzlichen Verzögerung, also als D-T₁ implementiert.

D

x_a(t) = K_D \cdot \dot{x}_e(t)

---

D-T₁

\begin{aligned} T_1 \cdot \dot{x}_a(t) \\ + x_a(t) \\ = K_D \cdot \dot{x}_e(t) \end{aligned}

B.2.4 Regelglieder

Werden P-, I- und D-Glied parallelgeschaltet, entstehen das PI-, das PD- und das PID-Glied.

HinweisPD/PID-T₁

Wenn der Regler einen D-Anteil enthält (PD bzw. PID), wird der D-Anteil immer mit einer zusätzlichen (kleinen) Verzögerung T_{\mathrm{Vz}} implementiert (ein reines D-Glied ist nicht realisierbar). Der Regler wird dann PD-T₁ bzw. PID-T₁ genannt oder einfach realer PD/PID-Regler. Der Effekt der Verzögerungszeit ist in der jeweiligen Sprungantwort ersichtlich, beim Icon und der Reglergleichung verwenden wir der Einfachheit halber jeweils die ideale Darstellung.

P-Regler

siehe P-Glied oben

---

I-Regler

siehe I-Glied oben

---

PI-Regler

\begin{aligned} y(t) = K_P \cdot \Bigl( &e(t) \\ &+ \frac{1}{T_i} \cdot \int{e(t) \, \mathrm{d}t} \Bigr) \end{aligned}

---

PD-Regler

\begin{aligned} y(t) = K_P \cdot \Bigl( &e(t) \\ &+ T_d \cdot \dot{e}(t) \Bigr) \end{aligned}

---

PID-Regler

\begin{aligned} y(t) = K_P \cdot \Bigl( &e(t) \\ &+ \frac{1}{T_i} \cdot \int{e(t) \, \mathrm{d}t} \\ &+ T_d \cdot \dot{e}(t) \Bigr) \end{aligned}

B.2.4.1 Interaktive Sprungantwort

Ändere die Parameter im untenstehenden Sprungantwort-Simulator und betrachte den Effekt auf die Sprungantwort. Die Sprungantwort wird für einen Einheitssprung am Eingang (Regelfehler) des realen PID-T₁-Reglers angezeigt. Der D-Anteil ist dabei mit der Verzugszeit T_\mathrm{Vz} realisiert.

_label1c = html`<span></span>`
_label2c = html`<span></span>`
_label3c = html`<span></span>`
_label4c = html`<span></span>`
_s1c = html`<input type="range" min="0" max="200" step="1" value="100" style="width:100%;">`
_s2c = html`<input type="range" min="0" max="200" step="1" value="100" style="width:100%;">`
_s3c = html`<input type="range" min="0" max="200" step="1" value="100" style="width:100%;">`
_s4c = html`<input type="range" min="0" max="200" step="1" value="100" style="width:100%;">`
_checkI = html`<input type="checkbox" style="transform:scale(1.25);margin-right:6px;" checked>`
_checkD = html`<input type="checkbox" style="transform:scale(1.25);margin-right:6px;" checked>`
function updateLabelsC() {
  var s1 = _s1c.valueAsNumber, s2 = _s2c.valueAsNumber, s3 = _s3c.valueAsNumber, s4 = _s4c.valueAsNumber;
  var kp = 0.5 + s1 / 200 * 4, ti = 1 + s2 / 200 * 9, td = s3 / 200 * 1, tvz = 0.05 + s4 / 200 * 0.45;
  _label1c.innerHTML = `K<sub>P</sub>: ${kp.toFixed(2)}`;
  _label2c.innerHTML = `T<sub>i</sub>: ${ti.toFixed(2)} s`;
  _label3c.innerHTML = `T<sub>d</sub>: ${td.toFixed(2)} s`;
  _label4c.innerHTML = `T<sub>Vz</sub>: ${tvz.toFixed(3)} s`;
}
function makeSliderC(slider) {
  return Generators.observe(function(change) {
    var last = slider.valueAsNumber;
    function inputted() { last = slider.valueAsNumber; updateLabelsC(); if (!isChromium) change(last); }
    function released() { change(last); }
    slider.addEventListener("input", inputted);
    slider.addEventListener("change", released);
    change(last);
    return function() { slider.removeEventListener("input", inputted); slider.removeEventListener("change", released); };
  });
}
s1ValC = makeSliderC(_s1c);
s2ValC = makeSliderC(_s2c);
s3ValC = makeSliderC(_s3c);
s4ValC = makeSliderC(_s4c);
function makeCheck(cb) {
  return Generators.observe(function(change) {
    function changed() { change(cb.checked); }
    cb.addEventListener("change", changed);
    change(cb.checked);
    return function() { cb.removeEventListener("change", changed); };
  });
}
enableI = makeCheck(_checkI);
enableD = makeCheck(_checkD);
__disableC = {
  _s2c.disabled = !enableI;
  _s3c.disabled = !enableD;
  _s4c.disabled = !enableD;
}
Kp = 0.5 + s1ValC / 200 * 4
Ti = 1 + s2ValC / 200 * 9
Td = s3ValC / 200 * 1
Tvz = 0.05 + s4ValC / 200 * 0.45
__initC = updateLabelsC();
html`
<div style="padding:0.25em;font-family:sans-serif;">
  <div style="margin-bottom:0.75em;display:flex;gap:14px;">
    <label style="display:flex;align-items:center;font-size:14px;">${_checkI} I-Anteil</label>
    <label style="display:flex;align-items:center;font-size:14px;">${_checkD} D-Anteil</label>
  </div>
  <div style="margin-bottom:0.75em;">
    <label style="display:block;font-size:14px;margin-bottom:2px;">${_label1c}</label>
    ${_s1c}
  </div>
  <div style="margin-bottom:0.75em;">
    <label style="display:block;font-size:14px;margin-bottom:2px;">${_label2c}</label>
    ${_s2c}
  </div>
  <div style="margin-bottom:0.75em;">
    <label style="display:block;font-size:14px;margin-bottom:2px;">${_label3c}</label>
    ${_s3c}
  </div>
  <div style="margin-bottom:0.75em;">
    <label style="display:block;font-size:14px;margin-bottom:2px;">${_label4c}</label>
    ${_s4c}
  </div>
</div>`

stepData3 = {
  const K = Kp;
  const dt = 0.01;
  const tMax = 10;
  const data = [];

  for (let t = 0; t <= tMax; t += dt) {
    const y = K * (1
      + (enableI ? t / Ti : 0)
      + (enableD ? (Td / Tvz) * Math.exp(-t / Tvz) : 0));
    data.push({t, y});
  }

  return data;
}

Plot.plot({
  height: 400,
  marginLeft: 60,
  marginBottom: 50,
  grid: true,
  style: {background: "transparent", color: "#333", fontSize: "14px"},
  x: {label: "Zeit [s]", domain: [0, 10]},
  y: {domain: [0, 10], label: null},
  marks: [
    Plot.line([[0, 0], [0, Kp * (1 + (enableD ? Td / Tvz : 0))]], {stroke: "#e74c3c", strokeWidth: 2.5}),
    Plot.lineY(stepData3 || [], {x: "t", y: "y", stroke: "#e74c3c", strokeWidth: 2.5}),
  ]
})