4  Streckenidentifikation

Der zweite Schritt des regelungstechnischen Workflows (vgl. Abb. 2.1) befasst sich mit der Modellierung der Regelstrecke, d. h. wir müssen Verfahren kennen, um eine reale Regelstrecke z. B. anhand einer Messung der Sprungantwort in der Simulation nachbilden zu können.

WichtigZiele

• Du kennst Methoden, um eine reale Regelstrecke anhand der Sprungantwort zu charakterisieren bzw. modellieren → Experimentelle Identifikation der Regelstrecke.

Bei einfachen Strecken (z. B. P-T₁, P-T_t, I, I-T₁, …) können wir sämtliche Parameter direkt aus der Sprungantwort ablesen, d. h. im Folgenden geht es primär um Strecken höherer Ordnung (P-T₂, P-T₃, usw.), wo dies nicht möglich ist.

HinweisModellierung

Ein Modell ist immer eine vereinfachte Abbildung der Realität und wird immer mehr oder weniger von der realen Regelstrecke abweichen. In vielen Fällen reicht ein ungefähres Modell völlig aus, da die Regelung ohnehin eine gewisse Robustheit aufweisen muss, sodass kleine Abweichungen bei der Modellierung toleriert werden können.

4.1 Verfahren nach Küpfmüller

Beim Verfahren nach Küpfmüller wird die Strecke als P-T₁-T_t-Glied modelliert, wobei die Werte für T_t und T_1 anhand der Wendetangente (vgl. Hinweis 3.1) bestimmt werden.

Abb. 4.1: Küpfmüller-Verfahren

T_t = T_e

T_1 = T_b

Das Küpfmüller-Verfahren ist sehr einfach anzuwenden, liefert jedoch häufig suboptimale Ergebnisse. Wie in Abb. 4.1 ersichtlich ist, liegt die modellierte Sprungantwort z. T. deutlich unterhalb der gemessenen.

4.2 Verfahren nach Strejc

Das Verfahren nach Strejc geht ebenfalls von einem P-T₁-T_t-Modell aus und liefert generell bessere Ergebnisse als das Küpfmüller-Verfahren. Es fordert, dass die Sprungantworten in mindestens zwei Punkten (A und B) exakt übereinstimmen. Häufig werden dafür die Punkte verwendet, bei denen 10% bzw. 90% des stationären Endwertes erreicht sind, es können aber auch andere Punkte gewählt werden. Für die Herleitung wird auf Kahlert (2023) verwiesen und hier lediglich die relevanten Beziehungen aufgeführt.

Abb. 4.2: Strejc-Verfahren

T_t = \frac{t_B \ln{\left(1 - \frac{x_A}{x_\infty} \right)} - t_A \ln{\left(1 - \frac{x_B}{x_\infty} \right)}}{\ln{\left(1 - \frac{x_A}{x_\infty} \right)} - \ln{\left(1 - \frac{x_B}{x_\infty} \right)}}

T_1 = - \frac{t_A - T_t}{\ln{\left(1 - \frac{x_A}{x_\infty} \right)}}

Die obigen Beziehungen sehen kompliziert aus, da sie für eine beliebige Wahl von A und B geschrieben wurden. Wählt man für A den 10%- bzw. für B den 90%-Punkt, so ergeben sich folgende Beziehungen.

T_t = \frac{t_B \ln(0.9) - t_A \ln(0.1)}{\ln(0.9) - \ln(0.1)} = \frac{2.303 \cdot t_A - 0.105 \cdot t_B}{2.197}

T_1 = - \frac{t_A - T_t}{\ln(0.9)} = \frac{t_A - T_t}{0.105}

x_A\ [\%] t_A

x_B\ [\%] t_B

T_t

T_1

4.3 Verfahren nach Ormanns

Das Verfahren von Ormanns legt ein P-T₂-Modell zugrunde. Dabei werden die beiden Zeitpunkte t_{30\%} bzw. t_{70\%} bestimmt, d. h. die Zeitpunkte, an denen die Sprungantwort 30% bzw. 70% des stationären Endwertes erreicht hat.

Abb. 4.3: Ormanns-Verfahren

Die beiden Zeitkonstanten T_1 bzw. T_2 für das P-T₂-Modell ergeben sich dann zu:

T_1 = 0.5 \cdot \left(\frac{t_{70\%}}{1.2} + \frac{t_{30\%}+t_{70\%}}{0.6} \cdot \sqrt{0.45-\frac{t_{30\%}}{t_{70\%}}} \right)

T_2 = \frac{t_{70\%}}{1.2} - T_1

Das Verfahren ist nur anwendbar, wenn \dfrac{t_{30\%}}{t_{70\%}} < 0.45.

t_{30\%}

t_{70\%} Verfahren nicht anwendbar

T_1

T_2

4.4 Wendentangentenverfahren

Beim Wendetangentenverfahren wird ebenfalls ein P-T₂-Modellansatz verwendet. Die beiden Modellzeitkonstanten T_1 bzw. T_2 werden dabei aus den Ersatzzeitkonstanten T_e (Verzugszeit) bzw. T_b (Ausgleichszeit) bestimmt (vgl. Hinweis 3.1).

Abb. 4.4: WT-Verfahren

Dabei wird folgendermassen vorgegangen, wobei Tab. 4.1 benötigt wird:

1. Verhältnis T_b / T_e ermitteln und die entsprechende Zeile in der 3. Spalte bestimmen. Falls keine Zeile direkt passt, muss gegebenenfalls interpoliert werden.
2. Mit dem Wert aus der 2. Spalte kann dann T_1 bestimmt werden.
3. Mit dem Wert aus der 1. Spalte kann schliesslich T_2 bestimmt werden.

T_2 / T_1	T_b / T_1	T_b / T_e
0.10	1.29	20.09
0.20	1.50	13.97
0.30	1.68	11.91
0.40	1.84	10.91
0.50	2.00	10.35
0.60	2.15	10.03
0.70	2.30	9.83
0.80	2.44	9.72
0.90	2.58	9.66
0.99	2.70	9.65

Tab. 4.1: Wendetangentenverfahren

Das Verfahren ist anwendbar für \dfrac{T_b}{T_e} \geq 9.64.

T_b

T_e Verfahren nicht anwendbar

T_1

T_2

HinweisWendetangentenverfahren

Dieses Verfahren ist in abgewandelter Form in Boris implementiert, und zwar im T_e-T_b-Block. Dabei werden T_e und T_b eingegeben und es werden automatisch T_1 und T_2 des P-T₂-Gliedes bestimmt. Wird die Bedingung \frac{T_b}{T_e} \geq 9.64 nicht eingehalten, wird zusätzlich eine Totzeit eingefügt bis die Bedingung erfüllt ist. Der T_e-T_b-Block weist also P-T₂- oder P-T₂-T_t-Verhalten auf.

4.5 Verfahren der Zeitprozentkennwerte

Beim Verfahren der Zeitprozentkennwerte wird ein P-T_n-Modell zugrunde gelegt mit n identischen Zeitkonstanten T_1, \dots, T_n. Es basiert auf den Zeitpunkten t_{10\%}, t_{50\%} bzw. t_{90\%}, d. h. den Zeitpunkten, bei denen die Sprungantwort 10%, 50% bzw. 90% des stationären Endwertes erreicht hat.

Abb. 4.5: Verfahren der Zeitprozentkennwerte

Dabei wird folgendermassen vorgegangen, wobei Tab. 4.2 benötigt wird:

1. Zeitwerte t_{10\%}, t_{50\%} sowie t_{90\%} ermitteln und damit den Parameter \mu = \dfrac{t_{10\%}}{t_{90\%}} berechnen.
2. Mit dem Wert \mu die Zeile ermitteln, die am besten passt, und darin die Werte für n und \alpha_{10}, \alpha_{50} bzw. \alpha_{90} ablesen.
3. Die Zeitkonstanten T_1, \dots, T_n gemäss nachfolgender Beziehung berechnen.

T_1, \dots, T_n = \frac{1}{3} \left( \alpha_{10} \cdot t_{10\%} + \alpha_{50} \cdot t_{50\%} + \alpha_{90} \cdot t_{90\%} \right)

\mu	n	\alpha_{10}	\alpha_{50}	\alpha_{90}
0.046	1	9.491	0.1443	0.434
0.137	2	1.880	0.596	0.257
0.207	3	0.907	0.374	0.188
0.261	4	0.573	0.272	0.150
0.304	5	0.411	0.214	0.125
0.340	6	0.317	0.176	0.108
0.370	7	0.257	0.150	0.095
0.396	8	0.215	0.130	0.085
0.418	9	0.184	0.115	0.077
0.438	10	0.161	0.103	0.070

Tab. 4.2: Verfahren der Zeitprozentkennwerte

t_{10\%}

t_{50\%}

t_{90\%} Verfahren nicht anwendbar

n

T_1, \dots, T_n

4.6 Numerische Optimierungsverfahren

Neben den oben aufgeführten “manuellen” Verfahren können die Parameter einer Regelstrecke auch mittels numerischer Optimierung bestimmt werden. Dazu werden Optimierungsalgorithmen verwendet, die im Allg. eine Zielfunktion minimieren (d. h. in unserem Fall wird die Differenz zwischen dem Modell und der Messung minimiert, indem die Parameter variiert werden, bis eine optimale Lösung gefunden wurde).

\min_{K_P, T_1, \ldots} \, \left\| x_{\mathrm{Modell}} - x_{\mathrm{Messung}} \right\|

Abb. 4.6: Optimierungsverfahren

Wir werden solche Methoden nicht weiter anschauen, da sie in der Praxis häufig nicht notwendig sind. Obwohl in Boris gewisse Werkzeuge integriert sind, würde man solche Optimierungen vorzugsweise mit Python oder einem vergleichbaren Tool umsetzen.

4.7 Identifikation von Strecken ohne Ausgleich (I-Strecken)

Oben wurden ausschliesslich P-Strecken betrachtet, doch die Verfahren funktionieren auch für I-Strecken. Wird die Sprungantwort einer I-Strecke abgeleitet (differenziert), so wird der I-Anteil abgespalten und es verbleibt eine P-Strecke, wobei allfällige Verzögerungen nicht verändert werden. Damit können die obigen Verfahren angewendet werden.

Abb. 4.7: Identifikation von I-Strecken

Der so bestimmte Proportionalbeiwert K_P für die Strecke ohne I-Anteil entspricht gerade dem Integrierbeiwert K_I der Originalstrecke.

HinweisD-Glied

Die Ableitung kann in Boris mit dem D-Glied (D für Differenzierung) erfolgen.

Aufgaben

TippAufgabe 4.1

Identifiziere die nachfolgend abgebildete Sprungantwort anhand des Wendentangentenverfahrens (vgl. Abschn. 4.4 bzw. Kap. 2.4.5 in Kahlert (2023)). Bestimme die beiden Zeitkonstanten T_1 und T_2.

1. Führe das Verfahren “manuell” durch gemäss Abschn. 4.4.

2. Verwende den T_e-T_b-Block in Boris.

WichtigLösung

1. manuell

Schritt 1: T_e und T_b bestimmen und dann mit dem Verhältnis T_b/T_e in der Tab. 4.1 die passende Zeile in der 3. Spalte bestimmen.

T_e \approx 2\,\mathrm{s} \quad \quad T_b \approx 20\,\mathrm{s}

\frac{T_b}{T_e} = \frac{20}{2} = 10

Damit wählen wir die 6. Zeile in Tab. 4.1 (10.03).

Schritt 2: Mit dem Wert aus der 2. Spalte (2.15) kann nun T_1 bestimmt werden.

\frac{T_b}{T_1} = 2.15 \quad \to \quad T_1 = \frac{T_b}{2.15} = \frac{20\,\mathrm{s}}{2.15} = 9.3\,\mathrm{s}

Schritt 3: Mit dem Wert aus der 1. Spalte (0.6) kann schliesslich T_2 bestimmt werden.

\frac{T_2}{T_1} = 0.6 \quad \to \quad T_2 = 0.6 \cdot T_1 = 0.6 \cdot 9.3\,\mathrm{s} = 5.6\,\mathrm{s}

Damit haben wir die beiden Zeitkonstanten T_1 = 9.3\,\mathrm{s} bzw. T_2 = 5.6\,\mathrm{s} bestimmt. Zusätzlich kann der Proportionalbeiwert K_P = 2.5 direkt abgelesen werden und damit ist das Übertragungsglied vollständig identifiziert. (Zum Vergleich: Die wahren Zeitkonstanten sind T_1 = 9.1\,\mathrm{s} bzw. T_2 = 5.8\,\mathrm{s}.)

2. Boris

Im T_e-T_b-Block können T_e (Verzugszeit) bzw. T_b (Ausgleichszeit) direkt eingegeben werden und intern werden die beiden Zeitkonstanten T_1 und T_2 anhand des Wendetangentenverfahrens ermittelt. Es sollten also grob dieselben Werte wie oben resultieren.

TippAufgabe 4.2

Untenstehend ist eine Sprungantwort eines realen Systems als Textdatei gegeben, die mit dem Block Tabellen-Eingabedatei (aus der Palette Quellen) in Boris eingelesen werden kann. (Eingangs- und Ausgangssignal in [V])

Sprungantwort-Messung der Regelstrecke (.txt)

Versuche das System durch ein P-T_n-Glied mit n gleichen Zeitkonstanten zu approximieren, indem du das Verfahren der Zeitprozentkennwerte (vgl. Abschn. 4.5 bzw. Kap. 2.4.6 in Kahlert (2023)) anwendest. Gib die Ordnung n und den Wert für die n identischen Zeitkonstanten T_1, .., T_n an.

WichtigLösung

Für das Zeitprozentkennwerte-Verfahren benötigen wir als erstes die Zeitwerte t_{10\%}, t_{50\%} sowie t_{90\%}, die wir aus der eingelesenen Sprungantwort ablesen können.

t_{10\%} \approx 1.7\,\mathrm{s} \quad t_{50\%} \approx 4.0\,\mathrm{s} \quad t_{90\%} \approx 8.1\,\mathrm{s}

Schritt 1: Parameter \mu=t_{10\%}/t_{90\%} bestimmen.

\mu = \frac{t_{10\%}}{t_{90\%}} = \frac{1.7\,\mathrm{s}}{8.1\,\mathrm{s}} = 0.21

Schritt 2: Wir wählen die 3. Zeile (\mu=0.207) und erhalten n = 3, \alpha_{10} =0.907, \alpha_{50} =0.374 sowie \alpha_{90} =0.188.

Schritt 3: Nun können die Zeitkonstanten T_1, \dots, T_n bestimmt werden.

\begin{aligned} T_1, \dots, T_n &= \frac{1}{3} \left( \alpha_{10} \cdot t_{10\%} + \alpha_{50} \cdot t_{50\%} + \alpha_{90} \cdot t_{90\%} \right) \\ &= \frac{1}{3} \left( 0.907 \cdot 1.7\,\mathrm{s} + 0.374 \cdot 4.0\,\mathrm{s} + 0.188 \cdot 8.1\,\mathrm{s} \right) \\ &= 1.52\,\mathrm{s} \end{aligned}

Es resultiert also ein P-T₃ mit dem Proportionalbeiwert K_P = 8 und den Zeitkonstanten T_1 = T_2 = T_3 = 1.52\,\mathrm{s}.

Kahlert, Jörg. 2023. Crashkurs Regelungstechnik: eine praxisorientierte Einführung mit Begleitsoftware. 5., aktualisierte Auflage. https://d-nb.info/1272986799.